压轴题打卡110：四边形有关的几何综合问题

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，对角线BD为⊙O的直径，AC与BD交于点E．点F为CD延长线上，且DF=BC．

（1）证明：AC=AF；

（2）若AD=2，AF=√3+1，求AE的长；

（3）若EG∥CF交AF于点G，连接DG．证明：DG为⊙O的切线．

参考答案：

考点分析：

四边形综合题．

题干分析：

（1）根据四边形ABCD内接于⊙O证得△ABC≌△ADF，利用全等三角形的对应边相等证得AC=AF；

（2）根据（1）得，AC=AF=√3+1，证得△ADE∽△ACD，利用相似三角形的对应边的比相等得到AD/AC=AE/AD，代入数值求得AE的长即可；

（3）首先根据平行线等分线段定理得到AG=AE，然后证得△ADG∽△AFD，从而证得GD⊥BD，利用“经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线”证得DG为⊙O的切线即可．

解题反思：

本题考查了四边形的综合知识，还考查了全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，综合性比较强，特别是（3）中利用平行线等分线段定理证得AG=AE更是解答本题的关键，难度中等．

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