概率与递推数列的交汇应用

概率是高中数学课本的重要内容，在理论和实际生活中都有很重要的应用，是高考中常考常新的内容。下面介绍用递推思想探求概率的问题，体现了数列与概率知识的交汇，对高三的复习有一定的指导作用，也有利于培养学生的解题能力和创新能力。

一、行程问题

例1：设正四面体的四个顶点是A、B、C、D，各棱长度均为1米，有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条棱的尽头，求它爬了7米之后恰好首次位于顶点A的概率。

解：考虑一般情况，若小虫走过 n 米之后又回到点A，则它走过(n-1)米就在B、C、D三点中的一点。小虫走过 (n-1) 米到达点A与不到达点A是对立事件，若设Pn表示小虫走过 n 米后又回到点A的概率，则P(n-1)表示小虫走过(n-1)米后又回到点A的概率，1-P(n-1)表示小虫走过 (n-1) 米后不在点A的概率。因B、C、D三点到点A是等可能的，概率都为1/3，于是有Pn=[1-P(n-1)]/3，因起始时小虫在点A，所以P0=1，故得递推关系：

二、抛掷骰子问题

例2: 有A、B两人，按下列规则抛掷骰子，第一次，如果出1点，下一次还由同一人继续掷；如果出现其它点数，下一次由另一人掷。第一次是A掷，设第 n 次由A掷的概率是pn。

三、射击问题

例3: 甲、乙两人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击。已知：甲、乙两人射击一次击中的概率均为1/3，且第一次由甲开始射击。若第 n 次由甲射击的概率为an，求数列{an}的通项公式。

解：第n 1次由甲射击这一事件，包括第n次由甲射击、第n 1次继续由甲射击这一事件以及第n次由乙射击、第n 1次由甲射击这一事件。这两事件发生的概率是互斥的且发生的概率分别是：

则有关系式：

四、质点移动问题

（1)求P1, P2；（2）求Pn的表达式。

解：（1）设M点到达点（0，1）的概率为P1=2/3，M到达点（0，2）的事件由两个互斥的事件组成：

（2）M点到达（0，n 2）由两个互斥事件组成：