欧拉神作之四——从“最速降曲线”问题到创立新学科

拉普拉斯曾经说过“我们当中的所有的人都应该去读读欧拉的著作，他是我们所有人的老师”。的确，欧拉虽然没有专门做过教师，但是他的想法和教育理念深深地影响到了所有人。欧拉也有过一位非常伟大的老师，如果没有这位老师的培养，欧拉的前途应该会大不相同，这就是伯努利家族。

拉普拉斯

1630年，伽利略提出一个问题：“一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短”。伽利略没有深入研究过这个问题，粗略地认为这个曲线应该是圆弧。

伽利略

1696年，约翰伯努利重新发现这个问题，并且得出了正确的答案。伯努利先生很兴奋，在整个欧洲数学界广发英雄帖，希望广大数学界人士来作答。截止到1697年5月5日，莱布尼茨，牛顿，雅各布伯努利，罗必塔都获得了正确答案。可以看出来，能够解出这个难题的都是当时世界级的大数学家，《博学通报》刊登了除罗必塔以外所有的正确解法。

约翰·伯努利

这5种解法中，最巧妙的还要算是约翰伯努利本人发现的方法，他创造性地把光学，力学和数学分析结合在一起，解出了这个难题。

首先看一个公式：

光线折射定律

学过高中物理的同学应该会很有印象，这是光线的折射定律，其中的α是入射角和折射角，v是光线在不同介质中的传播速度，n叫介质的折射率。费马总结出一个光线传播定律：

“过空间中两定点的光，实际路径总是光程（或者时间）最短。”

由这个定律就可以推导出这个公式，荷兰物理学家斯涅耳在1621年，通过实验验证了这个公式的正确性，所以光的折射定律又叫斯涅耳定律。约翰伯努利的解法正是基于这个定律。

伯努利解法基础——斯涅耳定律

下面介绍约翰伯努利的解法，前方高能，请谨慎阅读！

至此，我们已经建立了最速降曲线的微分方程（4），下面就开始求解这个方程：

实际上最速降曲线也就是我们常说的摆线，也叫旋轮线。圆上的任意一点滚动产生的轨迹就叫摆线，另外生活中两个等高的点之间自由下垂的绳子或链子的造型也是摆线。

摆线的由来

铁链的造型也是摆线

可以看出来这个方法的想象和创造力是空前的，约翰伯努利敏锐地察觉到费马的时间最短原理推广到无限情层数就是最速降曲线的解，相当漂亮！伯努利的解法中，除了要创造性地认识到最短时间原理和最速降曲线之间的关系，还有关键一步就是如何建立描述这个运动问题的微分方程，一旦正确的微分方程建立，对这个运动问题的研究就全部转移到数学方法上来。事实上，到今天为止，我们描述运动最理想的方式仍然是微分方程。牛爵士当年在《原理》一书中建立的第二运动定律并不是我们现在常见的F=ma的形式，而是F=m·dv/dt。

“最速降问题”也成为了约翰伯努利一生数学成就的经典代表。

欧拉大神

约翰伯努利数学生涯还有一件更加成功的成就，那就是做了欧拉的老师。且不论这对师生之间的学术成就高低，他们都是各自研究领域的世界级大师。“最速降问题”掀起热潮的时候欧拉尚未出生，假如欧拉也在那个时代，那么竞争可能会更加精彩激烈。

虽然说约翰伯努利完全解决了“最速降问题”，但他也使用了很多技巧，很多时候这样的技巧显得不是那么显而易见，也并非适用所有情况。就像在微积分创立之前就有很多人已经会求曲线的面积和周长。但是他们用到的特殊技巧却不是每个人都可以掌握的，牛顿，莱布尼茨两位的伟大之处在于，将解决这类问题的方法一般化，用一套规范来解决这一类问题。事实上，如果伯努利能再前进一步，就可以发现这一门新的学科。

回过头来我们再来分析一下“最速降曲线”问题的难点在哪儿？建立的微分方程实际上是表示的是一类时间与路径的函数簇，我们要做的是在这一类函数簇内找到时间最短的那条。这个问题有点类似求函数的极值，在连续函数的某个位置存在一点，使得一阶导数为零，我们就把这个点叫作驻点，我们可以很方便在驻点处分析函数的各种性质。很明显函数簇中的自变量也变成了函数，这种情况毫无疑问会比求函数极值复杂得多。这套数学方法的诞生已经积累好了足够的数学背景，就待临门一脚了。

变分法主要从函数簇中找出满足条件的那支

欧拉在1734年重新研究了老师的“最速降问题”，这里，欧拉抛弃了那些高超的转换技巧转而分析更一般的情况。欧拉给这门新的学科起了一个很有力的名字——变分法。并与拉格朗日一同建立了变分法最关键的定理——欧拉-拉格朗日方程。此方程的地位相当于微积分领域的牛顿-莱布尼茨公式。

变分法关键定理 E-L方程

下面，我们简单看下用欧拉方程怎么求解“最速降问题”，这里同样高能，请谨慎阅读！

这里的(15)式与（4）式完全相同，于是，最速降曲线问题就这样被解决。

拉格朗日

在变分法的逐步建立过程中，拉格朗日做了非常重要的贡献。这位年轻的数学家从19岁开始就一直与欧拉保持长期的通信交流数学，其中对于等周问题，拉格朗日给出了第一个证明，等周问题的研究也是变分法诞生的另一个契机。这让欧拉欣喜若狂，欧拉压下自己往年做过关于等周问题方面不太成熟的研究，鼓励拉格朗日先发表自己的论文，于是年轻的拉格朗日名声大噪，从默默无闻的数学后生也晋升到著名数学家的行列。现在一般认为拉格朗日对于变分法的创立有着更加标准的贡献，但是，变分法的基本方程最先却是欧拉提出的，所以这个基本方程被命名为E-L方程。从某种意义上说，以欧拉命名的数学定理已经多到让人难以排序，所以不得不找个别人的名字加进去来区分，要不就说这是具体什么领域的欧拉定理，而不仅仅是说欧拉定理了。

今天的变分法已经渗透到所有的自然科学中去了，物理学，经济学，甚至后来的自动控制领域，E-L方程都是最基本的分析工具。人们不仅仅可以处理的函数的大小，也可以在一堆函数中准确找到满足要求的那个具体的函数了。

欧拉以一种最崇高的方式致敬了自己的老师，在数学界的故事中还有什么比师徒传承更加动听的故事么？在这里，我们也看到，欧拉作为一位大师对待后生的可敬态度，始终鼓励年轻人做出更大的贡献，这是对自己实力的绝对信任，也是为了培养更多的年轻数学家。某种意义上，欧拉的精神要比他的成就更加动人。