为何被3整除的数，其各个位上的数字之和能被3整除？

很多小学生（5年级及以上学生）都知道，被3整除的数，他们各个位上的数字之和能被3整除。这是判断一个数是否是3的倍数的一个基本的准则，但是，当我问，为什么的时候，很多同学就不知道了。

我们都知道，记住一个数学的结论是没有意义的，我们更需要的是，知道这个结论是从哪里来的，所以，有个拿了全国数学竞赛奖的同学跟我说，我也不太喜欢做什么题，但是课本里面学到的公式定理，我都喜欢自己去推导一遍，然后还要看这个定理，在条件变换的时候、表达方式发生改变的时候，可以推出点什么来，知道了定理的来龙去脉，在见到题目的时候，我就已经知道这个题目出题的背景，以及题目设置的问题有什么玄机，解题的思路和方法自然是水到渠成……

当然，并不是高手才想去知道定理定义的来龙去脉，每个孩子最初都有这样的好奇心，只是这种好奇心经常在繁杂的作业，重复性的试题，大量的考试给打败。

现在从小学开始就有大量的作业，学生写完作业已经不错了，根本没有时间去思考和反思这些东西是什么，是从哪里来，到哪里去。而重复性的作业形成部分同学的熟练度，让他对自己数学有一种错觉，以为自己的数学还挺不错的，后面读到更高年级，通常就打脸了……而另一部分同学，则是在重压之下，对数学产生厌倦，对学习失去信心，在小学就开始放弃数学的学习——小学就开始放弃，可要知道，他还需要学数学至少10年！！！

啊，为何这么多废话？心有所感吧。下面还是来讲讲，为何一个能被3整除的数，它各个位上的数字之和一定能被3整除。

预备知识1：一个数能被9整除，这个数一定能被3整除。因为一个数除以3可以表示成这个数先除以9，再乘以3，从而这个数一定是可以被3整除。比如981÷9=109   981÷3=981÷9×3=327

预备知识2：任意数的值等于各个位数上的数字乘以该数位的分位值。比如一个五位数：abcde=a×10000+b×1000+c×100+d×10+e×1

这时候我们的简便运算就有用了。我们将10000、1000、100、10拆分为9999+1,999+1,99+1,9+1，这样这个数就可以表示为

abcde=a×（9999+1）+b×（999+1）+c×（99+1）+d×（9+1）+e×1

=9999a+999b+99c+9d+（a+b+c+d+e）

=9×1111a+9×111b+9×11c+9×d+（a+b+c+d+e）

这个数字经过拆分之后，前面部分9×1111a+9×111b+9×11c+9×d一定能被9整除，故其一定能被3整除，从而我们只需看（a+b+c+d+e）这一部分是否能被3整除即可。

而这一部分，就是我们每个数位上数字之和，于是，我们就得到以下结论：

任意一个数能被3整除，那么它的每个数位上数字之和能被3整除，反过来也成立，也就是：判断一个数字是否能被3整除，只需将其每个数位上数字加起来看是否被3整除即可。（如果加起来还是两位或两位以上的数字），可以继续加起来，直到加起来成为个位数为止。

额，根据我们计算的过程，你是否能够找到被11整除的数的规律？

依样画葫芦：

abcde=a×（9999+1）+b×（1001-1）+c×（99+1）+d×（11-1）+e×1

=9999a+1001b+99c+11d+（a-b+c-d+e）

=11×909a+11×91b+11×9c+11×d+（a-b+c-d+e）

（a-b+c-d+e）这个数字代表的是奇数位上的数字之和减去偶数位上数字之和。

所以，我们要判断一个数字是否能被11整除，只需看奇数位上数字之和减去偶数位上数字之和得到的数字是否被11整除即可。

留一个练习：任意一个大于3的素数（质数），它的前一个数和后一个数，至少有一个能被6整除。