角平分线分线段成比例定理

解题大赛原型题目的证法简述。

题目

如图，AE平分∠BAD交△ABD的边BD于点E，求证：AB/AD＝BE/DE ．

法1

根据角平分线的性质，得到两个高EF和EG相等，

△ABE的面积分别以AB、BE为底表示，

△ADE的面积分别以AD、DE为底表示。

因为高都相等，所以利用S△ABE/S△ADE=AB/AD=BE/EG面积比得到结论．

法2

画外接圆，然后利用三角形相似也可以得到结论．

先证明△ABE∽△DCE，△ADE∽△BCE，

得AB/DC＝AE/DE，AD/BC＝AE/BE，

变形得AB·DE=AE·DC＝AE·BC＝AD·BE，

则AB/AD＝BE/DE ．

法3

作平行线：

过点E作EF∥AB，得BE/DE=AF/DF，

再根据∠BAE＝∠DAE，

易得∠EAF＝∠AEF，即△AEF为等腰三角形，

AF用EF替换，得

BE/DE＝EF/DF，

根据△DEF∽△DBA得，

EF/DF＝AB/AD，

则结论可得AB/AD＝BE/DE ．

点评：作平行线的方式共有6种，分别是过点B、D或E作平行线。

法4

作两条平行线：

过点E分别作EF∥AB，EG∥AD，

易得四边形AGEF为菱形，则EF＝EG，

根据△BGE∽△EFD得，

BE/DE＝GE/DF＝EF/DF，

再根据△DEF∽△DBA，得

EF/DF＝AB/AD，

则结论可得AB/AD＝BE/DE ．

法5

在AB上取一点F，使得AF＝AD，连接EF，

过点F作FG∥AD，交AE于点G，

根据全等易得EF＝DE，EF＝AF＝AD，

∠AEF＝∠AED＝∠BEG，

则∠AEB＝∠AEF＋∠BEF＝∠BEG＋∠BEF＝∠FEG，

再根据∠G＝∠DAE＝∠BAE证明△ABE∽△GFE，

则AB/GF＝BE/FE＝BE/DE，

则结论可得AB/AD＝BE/DE ．

法6

根据正弦定理得：

AB/sin∠3＝BE/sin∠1,

则AB/BE＝sin∠3/sin∠1，

AD/sin∠4＝DE/sin∠2，

则AD/DE＝sin∠4/sin∠2，

因为∠1＝∠2，所以sin∠1＝sin∠2，

因为∠3＋∠4＝180°，

所以sin∠3＝sin∠4，

所以AB/AD＝BE/DE ．

点评：正弦定理的证明不难，只需要利用面积关系或者三角函数的定义可以简单证明。

本题还有许多其它的解法，大家自行探索吧。