数学家解决了世纪数学难题，希尔伯特的四面体个数之谜

四面体是最简单的平面三维形状。早在柏拉图和亚里士多德时期，它的基本属性就一直困扰着数学家。去年11月发布的一份结论性证据已经确定了所有需要寻找的特殊四面体。这要归功于一项尖端的创新，它为数学家们提供了一种寻找特定方程解的新技术。

一个四面体由一个三角形的底和三个三角形的面组成一个金字塔。一两个面相交形成二面角，一个四面体有六个二面角。

新的证明证明了所有构造四面体的不同方法，使所有六个二面角都有有理值，这意味着每个角都可以表示成分数形式。它证明了正好有59个这样的四面体。

数学家们实际上在几十年前利用计算机搜索技术发现了这些特殊的四面体，但他们不知道是否还有更多的四面体。也就是说，他们不知道如何证明他们找到了所有满足条件的四面体。

将具有“有理数二面角的四面体”分类的问题可能看起来很简单，但解决这个问题需要多年积累的数学知识，以及一定程度的计算能力。仅仅通过笔和纸是无法解决这个问题的。

30页的证明中几乎没有插图。相反，它的逻辑在于解一个多项式方程，这是一种以系数和变量为幂的方程，比如 y = 3x^2 + 6。当然，证明中的多项式要比这复杂得多。

表面上讲的是数论，是几何。几何和数论之间的联系给数学家们提供了一个契机，但他们必须努力利用它。这是因为找到复杂方程的特解，并证明你已经找到了所有的特解，本质上是困难的。对于大多数方程，数学家们都无从下手。

数学家们通过发现一种求多项式方程解的新方法，他们回答了一个关于形状的基本问题，并可能使将来求其他方程的解更容易。

测试四面体

约翰·康威和安东尼娅·琼斯在1976年的一篇论文中首次正式提出了用有理二面角的四面体问题，即有理四面体。

他们俩的动机是想找到一个四面体，这个四面体可以被切割并重新组合成一个体积相同的立方体，这一特性被称为剪刀全等。在探索这个问题的过程中，他们回溯到1900年的思路，当时大卫·希尔伯特提出了23个问题来指导20世纪的数学探究。他的第三个问题是，是否任何一对具有相同体积的三维形状都是剪刀全等的。这很快被证明是不正确的，但事实证明所有有理四面体都与正方体相等。

康威和琼斯将有理四面体作为更难的四面体分类问题的特例。他们两人甚至勾画出了一种寻找四面体的方法，即解一个特定的多项式方程。他们的方程有六个变量，对应于一个四面体的六个二面角，它有105项，反映了一个四面体的二面角之间复杂的相互关系。作为参考，你可以把三角形的三个内角想象成一个简单的多项式，只有三项，即a + b + c = 180度。

康威和琼斯发现的多项式方程也有无穷多个解，代表了可能的四面体的无限构型。为了找到所需的具有所有有理二面角的解，康威和琼斯说数学家需要找到方程的一类特殊解，它与有理四面体完全对应。

他们自己也不知道如何找到答案，但他们相信这是可以做到的。

40多年后，四位数学家证实了他们的观点。

统一的根

康威和琼斯在研究多项式方程时经常寻找特殊类型的解。这些可以是整数或有理数解。

在普通的数轴上，大多数的统一根都不会出现。相反，它们是在复数中找到的，像3 + 4i这样有实部（3）和虚部（4）的数。单位根是多项式方程的解，具有特殊的代数性质，其幂为1。它们也有一个优雅的几何表示法，即它们都在复平面的单位圆上。

一般来说，为了解康威-琼斯多项式，数学家必须给所有六个变量都赋复数，这样105项方程才成立。变量本身并不代表角度的测量值，而是代表与角度余弦相关的复数。康威和琼斯观察到有理四面体将对应于多项式的解，其中所有变量都是统一的根。

六个角变成了单位圆上的六个点，需要这些复数来满足一个多项式方程。

找到解决办法是一回事。但真正解决问题是一个完全不同的。1995年，这项研究的两位作者，普宁和鲁宾斯坦最终发现了每一个具有有理二面角的四面体。

你可以尝试将6个有理数代入等式。问题是，这只能让你找到解决方案。它不会让你知道你已经找到了它们。——普宁

找到每一个解决方案

在最新的研究中，四位数学家证明了普宁和鲁宾斯坦在25年前发现的有理角四面体列表是完整的。他们知道解必须在某个非常大的数之下，也就是上限。但是这个界限太大了，没有办法搜索它下面的每一种可能性。

四位数学家通过两个主要的创新使证明成为可能。

首先，他们降低了上限。在他们的新论文中，他们证明了表示四面体的单一复杂多项式方程本身可以用许多更简单的多项式来表示。

他们证明了这些简单多项式的统一根都在一个小得多的上限之下。由于简单方程和复杂方程之间的对应关系，找到一个统一的根会引出另一个统一的根。不幸的是，即使是更小的范围也太大了，他们没有继续搜索。

作者的第二个创新是设计了一种巧妙的方法来搜索这个较小的区间。他们知道解具有一定的对称结构，这意味着如果区间的一部分有解，那么区间的另一部分也必须有解。

这使得他们能够开发新的算法，利用这种结构来更有效地搜索。他们在计算机上实现了这些算法，康威当时是不具备这种条件的。

新的算法在更窄的区间内搜索每一个可能的解组。基于这一详尽的研究，作者最终证明了只有59个具有有理二面角的四面体例子。