《下学葊算书》之解任意三角形谬误题(19)
《下学葊算书》之解任意三角形谬误题(19)
上传书斋名：潇湘馆112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世强 Ho Sai Keung
提要：本文取自清‧项名达着《下学葊算书》之平三角和较术，主要涉及任意三角形，知其一角及角旁边，亦知角之对边与余边之和或差，求其两余角及两未知边。唯项名达之算法有误。
关键词：角旁边 对边 余切 半角正切
本文取自清‧项名达着《下学葊算书二‧平三角和较术‧三角形》。
项名达之所谓“平三角”乃指平面三角形；“和较”指三角形边与边之间之和与差。“三角形”则指任意三角形，本文即解一已知条件之任意三角形。
笔者已有文名为〈《下学葊算书》之“夹边和较法”解任意三角形 (18)〉，本文乃其延续。
已知一任意三角形之一角及角旁边，亦知角之对边与余下边之和或差，求其两余角及两未知边。本文只有两题，但两题《下学葊算书》均有误。
宜注意正弦及余弦定理之应用。
平三角和较术
三角形
﹝三﹞有一角，有角旁边，有对边与余边较，求旁一角。
解：
题意指已知一任意三角形之一角∠ZYX = θ及此角之旁边 ZY = x =b，又知θ 角之对边 XZ 与余下边 XY 之差，即已知z – y = d，求余下之两角及两未知边之长。
先作出如下之图：
已知 ∠Y = θ，其已知旁边长为 b。作 XZ = XR，连 RZ，∆XZR 是一等腰三角形，而 z – y = d。又设∠ZYR = ∠XZR = ∠XRZ = β。θ 对边与余下边之夹角为φ 为未知数。求三角形余下两角，今先求 φ。求得 φ 后即可得余下之一角。
从上图可知：β = (90o –
) ------------------------ (1)
cos β = cos (90 –
) = sin
，
在 ∆ ZYR 中，依正弦定理得∠ZRY：b = ∠RZY：d，
即
=
=
d sin β = b sin β cosθ – bcos β sin θ
以 (1) 代入得 d sin (90 –
) = bsin (90 –
)cos θ– b sin
sin θ
d cos
= b cos
cos θ – b sin
sin θ
d= b cos θ – b tan
sin θ
b tan
sin θ = b cos θ – d
tan
= cot θ –
csc θ。
即
= tan – 1 [cot θ –
csc θ]
φ = 2 tan – 1 [cot θ –
csc θ]。
《下学葊算书》曰：
法以两边校，与角旁边相加为一率，相减为二率，半角正切为三率，求得四率，即对余边之半角正切﹝此题须审两边较为对边大于余边之较，三四率用正切，为对边小于余边之较，三四率应用余切。﹞
清代数学界流行所谓“比例四率”，即
=
，移项得：
四率 =
。
以两边校，与角旁边相加为一率，即 b + d，相减为二率，即b – d。半角正切tan
为三率，其式为：tan
=
tan
。
不合笔者之答案。
今以以下之图及数字验算：
已知一三角形XYZ， YZ = 2，ZX = 6.692，XY = 7.464 及 ∠Z = 105o。
已知 z – y = 7.464 – 6.692 = 0.772 = d，θ = 60o，
又已知 x = b = 2，根据笔者结果：
tan
= cot θ –
csc θ = cot 60o –
csc 60o = 0.13163。
= 7.5 o，即可知φ = 15 o，与设定之答案配合，即笔者之上式答案正确。
从上文可知，《下学葊算书》之式为：
tan
=
tan
。
代入数字验算得
tan
=
tan 30o =
tan 30o= 0.2557。
= 14.3o。不配合答案，其式有待研究。
至于求两夹边之法，《下学葊算书》又曰：
若先求边，则以角余弦乘两边较，半径除之，与角旁边相加为一率，角余弦乘角旁边，半径除之，与两边较相加为二率，角旁边为三率，求得四率，即两边和。乃与两边较相加减，各折半得两边﹝两边较对边大者，一二率各用加法；对边小者，一二率各用减法﹞。
项名达算法先算出z + y，即两边之和。又设半径 = r。
则以角余弦乘两边较，半径除之，即d cos θ/r；与角旁边相加为一率，即一率为 d cos θ/r + b；角余弦乘角旁边，半径除之，与两边较相加为二率，即bcos θ/r – d；角旁边b为三率，即四率为：
z + y =
=
，此数即为两边和，又设 r = 1，
则上式可写成z + y =
。
今依照《下学葊算书》之法先求两边之和，先作图如下：
以下为笔者之算法：
以 XYZ 为主三角形。已知 ∠Y = θ，其已知旁边长为 ZY = b。延长 YX 至 T，作 XT = XZ = y，连 TZ，所以 ∆XZT是一等腰三角形，其两相等之底角为
，为已求得之数﹝见前﹞，∠ZXY = φ，求 z + y 。
∠TZY = 180o – (θ + φ/2) ，sin (180o – θ –
) = sin (θ +
)，
在 ∆ ZYT 中，依正弦定理得
=
y + z =
=
= b sinθ cot
+ b cos θ。
因为 tan
= cot θ –
csc θ =
–
=
，
所以 cot
=
。
b sinθ cot
+ b cos θ
= b sinθ (
) + b cos θ
=
=
。
《下学葊算书》之
两边和式与上式有出入。
笔者以余弦定理计算如下。
以下为余弦定理 y2 = x2 + z2– 2xz cos θ ，今设 ZY 为 y，XY 为 z = y + d，依题意可列出以下之方程式：
y2 = b2+ (y + d)2 – 2b(y + d) cosθ
y2 = b2+ y2 + d2 + 2dy – 2by cos θ – 2bd cos θ
0 = b2 + d2 + 2y(d – b cos θ)– 2bd cos θ
2y(d – b cos θ) = –b2 – d2 + 2bd cos θ
y =
=
。
因此另一边长z =
+ d
=
=
。
两边和为z + y =
+
=
=
。
与前之结果脗合。故《下学葊算书》之
式有误。
今求 z之长以作验证：
z =
=
=
= 7.46495。
合预设之数，此结果进一步证明笔者之式正确。
﹝四﹞有一角，有角旁边，有对边与余边和，求旁一角。
解：
题意指已知一任意三角形之一角θ 及此角之旁边 ZY = x =b，又知 θ 角之对边 XZ 与余下边XY 之和，即已知 z + y = s，求余下之两角及两边之长。
先作出如下之图：
以 XYZ 为主三角形。已知 ∠Y = θ，其已知旁边长为 b。延长YX 至 T，作 XT = XZ，连 TZ，所以 ∆XZT是一等腰三角形，其两相等之底角为
，今设 ∠ZXY = φ 为未知数，而 z + y = s 为已知数。
又设 ∠XZY = β。θ 对边y与余下边 z之夹角为φ。求三角形余下两角，今先求φ。
从上图可知：在 三角形 TZY 中，∠TZY = β +
= (180o – θ –
)，
所以 sin (180o – θ –
) = sin (θ +
)，
在 ∆ ZYT 中，依正弦定理得
=
bsin (θ +
) = s sin
bsin θ cos
+ b cos θ sin
= s sin
bsin θ cot
+ b cos θ = s
cot
=
(s – b cos θ) =
csc θ – cot θ。
即
= cot – 1 [
csc θ – cot θ]
φ = 2 cot – 1 [
csc θ – cot θ]。
《下学葊算书》曰：
法以两边和，与角旁边相加为一率，相减为二率，半角余切为三率，求得四率，即对余边之半角正切。
仍用“比例四率”，即
=
，移项得：四率 =
，
以两边和，与角旁边相加为一率，即 s + b，相减为二率，即s – b。半角余切cot
为三率，其式为：tan
=
cot
。
不合笔者之答案。
今以以下之图验算：
已知一三角形XYZ， YZ = b = 2，ZX = 6.692，XY = 7.464 及 ∠Z = 105o。
已知 z + y = 7.464 + 6.692 = 14.156 = s，x = b = 2，θ = 60o，
根据笔者结果：
cot
=
csc θ – cot θ =
csc 60o – cot 60o = 8.17297 – 0.57735
= 7.59562。
= 7.5 o，即可知φ = 15 o，与设定之答案配合，即上式答案正确。
《下学葊算书》之式为：tan
=
cot
。
代入数字验算得
cot
=
cot 30o =
× 1.73205 =1.30322。不配合答案，其式有待研究。
至于求两夹边之法，《下学葊算书》又曰：
若先求边，则以角余弦乘两边和，半径除之，与角旁边相减为一率，角余弦乘角旁边，半径除之，与两边和相减为二率，角旁边为三率，求得四率，即两边较。乃与两边和相加减，各折半得两边。
项名达算法先算出z – y，即两边之差。同上题，又设半径 = r。
则以角余弦乘两边和，半径除之，即s cos θ/r，与角旁边相减为一率，即
s cos θ/r – b；角余弦乘角旁边，半径除之，与两边和相减为二率，即
s – b cos θ/r；角旁边为三率，即 b；其式为：
z – y =
=
，若 r = 1得最右式。
今依照《下学葊算书》之法先求两边之差，作图如下：
已知 ∠Y = θ，其已知旁边长为 ZY = x = b。作 XZ = XR = y，连 RZ，所以 ∆XZR是一等腰三角形，今 φ 已算出，求 z – y 。
在 ∆ ZYR 中，∠RZY = β – θ = (90o –
) – θ= 90o – (
+ θ)。
又在 ∆ ZYR 中，依正弦定理得
=
=
z – y =
=
= b cos θ – b tan
sin θ。
因为cot
=
csc θ – cot θ =
–
=
。
tan
=
。
所以b cos θ – b tan
sin θ
= b cos θ – b (
)sin θ
=
=
=
。此式与《下学葊算书》之式有出入。
笔者以余弦定理计算如下。
以下为余弦定理 y2 = x2 + z2– 2xz cos θ ，今设 ZY 为 y，XY 为 z = s – y ，依题意可列出以下之方程式：
y2 = b2+ (s – y)2 – 2b(s – y) cos θ
y2 = b2+ y2 + s2 – 2sy – 2bs cos θ + 2by cos θ
0 = b2 + s2 – 2y(s – b cos θ)– 2bs cos θ
2y(s – b cos θ) = b2 + s2 – 2bscos θ
y =
。
因此另一边长z = s –
=
=
。
所以 z – y =
–
=
=
=
=
。此式配合笔者算出之上式。
今以前图数字验证：
z =
=
=
= 7.4640。
与原设数字配合，故笔者算出之上式正确。
以下为《下学葊算书》原文：