你知道吗 ｜ 青岛有这么一位牛气的数竞教练~真的很牛气~
一位青岛数学竞赛教练员的从教感悟
——参与培养近两年一金两银一铜的自由教师
学科竞赛是一个宏大的体系。围绕着学生本人，有教练、家长、学校、同学、机构、政策等等因素共同发挥作用。教练固然是一个重要的角色，但面对整个体系，在天时地利人和面前，他也显得很渺小。
2018年青岛二中在数学联赛中取得了省内拔尖的成绩。原因除却学生本身非常努力外还有诸多因素。比如，这一届家长参与度非常高：家长们不光对竞赛信息动态非常了解，甚至还亲自协助规划学术细节，亲自带学生外出培训监督学生自律以至于他们想打够级都打不成←_←，还听说他们帮忙打扫二中由于施工变得脏乱的数学竞赛教室，并资助了一个很大的书架（当时还没有书，今已亭亭如盖矣）。再比如，几乎所有的竞赛教练都有各自的长处和短板，只有互为补益才能使学生具有全面的能力。像这一批学生，参与培养他们的教练中有的可能最擅长数论，几何是个短板，而我刚好反过来；还有的教练可能最擅长订正过程、掌握资源、组织管理等，大家合力拱卫了均衡的学术平台。再比如学校对学生的支持很给力，在素质教育旗帜的鼓舞下，学生敢于分配时间参与竞赛，从而涌现了一大批高二的省一得主。再比如水平相近的同学之间的互相帮助（这帮处得很好的小伙伴喜欢一边给对方讲题一边说对方真菜→_→）也很大地提升了学生的学习积极性。二中的数学MT（以兴趣为指向的团队）首席导师、我的老恩师孙老师大力支持。一些优秀机构的参与也起到了作用。
2017年城阳一中数学竞赛队获得了创五大联赛校史纪录的战绩——却也只有1个省一和3个省二。可见教练的作用相对来说是渺小的。在这届学生刚上高一的时候，我们面临的环境是学生竞赛基础基本为零，绩优生家庭对竞赛的重要性缺少认识，过往的竞赛成绩使大家不敢投入过多资源。联赛之前的暑假（包括开学第一周）本是竞赛生全力备战联赛的时间，但由于上述的特殊情况，这边的学生通常是被建议多花精力准备高考的。我只能挨个儿找领导们立军令状：给我这两个月时间，一定能带出一等奖。感谢领导信任，为我们创造了全力备战的环境；而我则是赌上自己的名誉押的这一局，好在学生最终正常发挥获奖，最后这名一等奖的学生还以高考市状元的成绩考上了北大。从此之后我将在城阳这部分的工作分了一部分到对初中生的培养上（要是再立一次军令状万一运气不好不就玩完了吗=_=），希望通过长周期的教育打造一支知识结构均衡、思维锻炼成熟的队伍。
话说回来，教练也需要非常努力，他需要死死地钉在这部机器上。就举我自己的一个例子来说：今年CMO（全国决赛）前夕，我需要给二中闯入决赛的李同学在自己家上两天的一对一辅导。别看只有两天12课时，准备起来可是极其困难。我遵循老恩师杨冠夏老师的教诲——一定要自己做出题来才能给学生讲，就开始在准备其他课程的间隙为这次一对一辅导刷了一个周的CMO难度的题，期间多次研究到凌晨两三点（我也知道早睡早起效率高，但主要没做出题来不甘心睡觉→_→）。一上课我就跟李同学说：这两天的课我要是翻车了，肯定不是态度问题，肯定就是能力不行……最终学生正常发挥，拿到银牌。这种工作状态在近两年的工作中时有发生，因为一没做出学生要答的疑来就睡不着了←_←
·联赛选拔的是战士而不是侠客
这个赛场上固然要求学生有不错的天赋；但是光有天赋是绝对不行的。想取得好成绩，成体系的学习、科学的训练、坚韧的意志、端正的态度、平和的心态缺一不可。揣着一丢聪明伶俐便嘚嘚瑟瑟、夸夸其谈的学生决计不会成功。
以一试为例。早年我辅导竞赛，很多同学在考前的模拟中经常考80+，但一到了真实考场上就只能考60-。我就每年考完了联赛都很郁闷啊，这是什么原因？后来反思，原因很多：真实考场上的环境和平时有差异、平日作息没有调整到和真实考试一致、真实考场一场定胜负影响心态、模拟时没有覆盖思维盲点、模拟题风格和真实考试风格不够接近等等。要想解决这些问题，就得从细节着手进行科学的训练：严格模拟真实考场环境和考试时间，大量训练覆盖盲点并使得很多基本的数学操作变成自动化的操作，为焦虑的同学提供心理疏导施加积极的心理暗示，一个一个题地选择攒成一套卷子保障风格贴近联赛等等。后来，学生的一试成绩终于有了起色。
在“科学训练”这方面，“因材施教”也是一个十分重要的指导思想。顶尖的学生各有各的特色，教练需要走进学生的内心去发掘出最适合他本人的方案。这里我想谈的例子是城阳一中的范同学：这位仁兄火力旺盛，大冬天成天穿着短袖跑操跑饭为人津津乐道。他还是我所见过的城阳学生中最具数学天赋的一个，联赛难度的题就没有他不会做的。但是他有一个特点是新东西的输入速度较慢。只要老师清晰稳定地给他输入进去，他就会吃得很透，应用灵活，风骚的操作极多；但是一旦碰到思维快速而跳跃的输入，他就反应不过来了。2018年暑假在我家集训的时候，我有几次让范同学和四位后来决赛夺牌的选手在同一波里学习，结果发现他完全跟不上。于是我就把他撤了出来，改在晚上给他和另外一个叫一哥的同学一起开小灶，这个时候他就所向披靡了。最后虽然范同学联赛时心态失衡最好成绩只是省二，但还好通过了清华大学暑期学科综合营的考核，被领军计划降分录取了（一哥也拿了省二，通过综合评价优惠考入山大）。
另一个关于“科学训练”的例子是如何指导学生分配各个版块的学习时间和学习材料。比如说一试这个版块，必须放到特别重要的位置上，因为一试的内容是基础，基础不牢，地动山摇。一试的这个基础地位，使得它和高考关系密切、和高校自主选拔关系密切、和联赛二试（特别是代数版块）关系密切。一试和二试的这种密切的联系不仅仅是知识上的，还是思维上的——有一些内在的数学思想在不同的版块间都是相通的。所以我成天拎着学生耳朵强调多练一试。再比如二试四个板块，到底选其中几个好好学，学什么材料，不同水平不同风格的学生给的指导是不一样的。对于以一等奖为目标的同学，就给他们练国内重要赛事（北方赛、女子赛、西部赛、东南赛）的真题等；对于冲省队的同学，就再推荐一些自学书目或者自己从书上攒题。联赛考题有一个明确的导向是“重思维、轻工具”。命题人似乎刻意避开那种虽然用考纲内的工具也能解决，但用某个高端工具能解决得很快的题。而上述国内重要赛事的真题就比较好地贴合了联赛的命题风格。
有的同学起点较晚，或者平日课堂学业压力比较重，这样的情况下，我省的学生通常不适合学习很多二试的板块。2017年、2018年城阳一中竞赛队就只学习一试、代数、几何，结果17年联赛的结果破校史纪录，18年联赛一中获奖总人数在全市仅次于青岛二中。
学科竞赛有一个水平接近的学生团队是非常重要的。一个教练的能力有限，更多的是学生之间互相学习、互相激励。青岛二中信竞银牌得主张艺缤也在我对他的采访中强调：二中信竞成绩优异的一大原因就是学生之间的互相促进。比如三位省队奖牌得主陈同学、李同学、吴同学交情就非常不错，碰到一个题，三个人你一言我一语，就把这个题拆解得差不多了。这仨也经常同场竞技，看看谁分儿高，分儿低的就被另外两个羞辱→_←课下三个货嘴也不闲着，飞花令玩儿得飞起：
李同学：通通连起来吧~
吴同学：以~德~服人。
陈同学：挣扎吧，在血与暗的深渊里！
李同学：来人，护驾！
吴同学：越老越要补啊~
陈同学：全军突击！
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偶尔我也参与pk，但是反应慢，限时的话几乎一定干不过省队级别的学生。不过我屡北屡战=_=并且如果一个题目十分难，我舍得耗时间拼命刚它，就有可能头一个做出来，比如1984高考压轴题压轴第三问，以及2018北大数学夏令营的一道代数题等。
在家里上课的时候，2018年获得银牌的王同学就多次在我讲完一种方法后补充第二种方法，偶尔在我懵在白板前的时候给予贴心提示←_→2018年获得铜牌的吴同学也在考取中科大少创班后回来当助教，为我在繁忙的暑假帮了不少忙。这都是团队的作用啊。
·致力于重现思维过程 / 联系的重要性 / 宏观、直观的视角 / 有启发性的教学
我在讲重点习题的时候，通常是先自己做一遍，然后回顾自己的思考过程并在课堂上把它复现出来。数竞圈里有一个常用词汇叫“自然”，如果你能说清楚某个思路是怎么想到的，那么这个思路就是自然的。“自然”的反义词是“注意到”→_→，因为辅导书上很多“注意到”只有作者能注意到，学生怎么注意到？——这就不自然了啊。
举一个最近上课时遇到的例子，有高一水平的非竞赛学生就能看懂。
除了给学生分析标准答案的方法以外，我想在这里重点说另一种方法。易知这个题的已知条件等价于
这个题之所以有一定的难度就是因为已知条件都挺麻烦，麻烦的已知条件就不太好用，因为不太容易在要求最小值的式子|x|-|y|中凑出方便用已知条件的结构来。
所以一个自然的想法是“把已知条件的形式变得简单”。令a=x+2y，b=x-2y得
付出的代价是把要求最小值的|x|-|y|变成了形式较复杂的关于a，b的式子。但由于已知条件的形式变得很简单，就容易看出下一步如何操作——只需要把b跟a满足的等量关系代入消元，发现第一个绝对值号不需要讨论就能去掉，再讨论去掉第二个绝对值号就可以变成关于a的双勾函数了。
下个例子有初中几何水平的同学应该能看懂。2001年联赛平面几何大题是这样的：
第二问。有一种证法是连续运用五次“定差幂线定理”（不知道这个定理是什么意思也没关系，不影响理解）。但定差幂线定理其实是一个比较复杂的定理（两线垂直等价于一个齐二次四项式等于零）。本题中只将此定理运用一次的话还好想，容易将欲证的结论结合这个定理转化成只需证一个等式成立；但多次运用的话，代数式和图中几何线条的对应关系就十分错综复杂，很难发掘。从而通常来说，多次运用这个定理的思路是一个优先级很低的思路，可能直到猴年马月才能“注意到”。
但是这道题不一样。因为我们有一种数学上的审美直觉叫做“纯纯的题有纯纯的解法”。这道题的构图非常“纯洁”：仅含有“连直线和直线相交”和“作垂线和直线相交”这两种作图方式。比如三角形ABC的确定属于“连直线和直线相交”，D、E、F、H的确定属于“作垂线和直线相交”，M、N的确定属于“连直线和直线相交”……就剩点O了。本来，点O的定义是外心，而外心的确定是需要作线段中点的，这就是另一种作图方式了。但观察第一问的结论发现，点O还可以通过过B作DF垂线与过C作DE垂线相交来确定！这就也属于“作垂线和直线相交”这种作图方式了。由此说明，本题的构图过程非常“纯”，很有可能对应着一个很“纯”的证法。那么既然刚才我们提到本题中将此定理运用一次比较好想，“自然”就会想到继续用同样的定理直至解答完成。这样就给了我们极大的信心去将“多次运用定差幂线定理”这条思路作为优先级很高的思路率先研究，果然就证出来了。
以上两个例子也有一个共同点：要注重思考的战略方向。它比战术更重要。我特别喜欢下国际象棋，发现在这一点上，国际象棋（包括象棋）和数学竞赛是非常相似的。国际象棋的初学者通常喜欢用战术手段骗人家个大子吃，吃到了对方的大子就能赢棋；但是和高手下棋，对方根本就不会给你随随便便设计战术的机会，而是通过战略布局，把子力走到积极的位置上压制住对方，取得局面优势。越是有局面优势的一方，最后通过得子赢得比赛的可能性就越大。同样的，高考水平的数学题多半用某个套路（也就是战术）就可以秒掉；但竞赛水平的数学题多半是没法一蹴而就的，需要我们慢慢地改善局面。比如例一中“令已知条件的形式变得简单”就是经常用来改善局面的一种思想；例二中的“纯题有纯解”也使我们明确了战略上的方向，至于到底用的是什么工具，用的是“定差幂线定理”还是“狗打猫拧定理”其实相对来说并不重要。
在青岛二中的教学楼门口的草坪上立着两座雕塑：一位是为二中培养出两块国际竞赛金牌的安文山先生，一位是二中校友、已故教育家孙维刚先生。在孙先生的著作中，经常提到的一句话叫做“八方联系、浑然一体”。对此，我有强烈的共鸣——我的学生时代有一个从来不敢在现在的课堂上给学生提倡的学习经验，叫做“三不”：课前不预习、课堂不做笔记、考前不复习。现在看来这个经验并不完全是好的，特别是预习，其实也很重要。但是我想通过这个“三不”说明的重点，就是我的课堂效率比较高。老师一旦讲了个啥，我就开始围绕着它做各种各样的联想：能否简化解题过程？有没有其它方法？有没有类似的题？与用到的工具相关的工具我需不需要复习一遍？老师接下来可能会讲啥？……这么一个联系的过程坚持下来，就感觉起码高考水平的题目都没什么难度了。所以轮到我给学生上课时，就会常常“联系”：一题多解、多题一解、变式训练等等。
锻炼好联系的眼光，可以帮助你把跨度比较大的领域联系起来。这里我想举三个例子。
例一：抛物线y=x^2上有两个点A（-1，1）和B（3，9）。在这两个点之间的抛物线上求一个点P使三角形PAB的面积最大。
容易想到只需在所有与直线AB平行的直线中找到哪一条与抛物线刚好相切，那么切点的坐标即为所求。接下来如果用纯数学方法，可以设出平行直线的方程（含一个参数）和抛物线方程联立，整理成一个二次方程，利用判别式为零就可以求出参数的值从而求出切点。但这个题还有个物理方法。抛物线的轨迹可以看成一个匀加速运动的质点的s（位移）关于t（时间）的图象。易知直线AB的斜率相当于质点从t=-1这个时刻到t=3这个时刻之间运动的平均速度，由于运动是匀加速的，所以平均速度当然等于两个时刻的中点t=1的瞬时速度，所以t=1时的切线斜率等于AB的斜率，所以t=1处的切线和直线AB平行，即所求的P的横坐标为1。
例二：三个角成公差为120度的等差数列，求证它们的余弦值之和为定值。
这个题用纯数学方法就不如用物理方法那么明显。将三个角的终边画在以O为原点的直角坐标系里，画一个单位圆与三条终边交于A,B,C。显然矢量OA,OB,OC对应的三个力的合力为零，所以这三个力在x轴方向上的分量的合力应该为零，所以三个角的余弦值之和为0。
例三：选自2012年联赛一试。
解答过程中有一个关键步骤是需要比较出18度及20度角的正弦值和1/3的大小关系。城阳一中13届毕业生孙同学是这样想的：我在立体几何学正四面体的时候曾经积累过一个结论：将正四面体体心分别和顶点连接，则这些线段两两的夹角的余弦值都为-1/3。而我又在有机化学中学到过，甲烷的分子构型为正四面体，键角为109度28分，所以我知道109度28分的余弦值为-1/3，从而19度28分的正弦值为1/3，所以18度的正弦值小于1/3，20度的正弦值大于1/3。
在课堂上我也喜欢强调宏观的视角和直观的视角。宏观视角有助于发现问题的整体结构，或者看出变化中的不变量，从而避免陷入微观的运算之海、讨论之林而找不到方向。做解析几何大题的时候通常也应先制定一个大致的计划，这样就不至于迷失在运算中。另外，在复习学过的某章内容的时候，先搞清楚这章都有哪些大门类，再逐渐细化到小门类就更容易把各个知识点在庞大数学机器中的位置整理得有条理。后来听我的一个叫兔子的学生说，这种复习方法其实就是所谓的“思维导图”。
直观视角也很重要，可以约等于“数形结合”。篇幅所限，就不展开谈了。
对我来说，在课堂上经常进行启发性的教学，似乎既不适合初学者，也不适合顶尖高手。初学者思路不正宗，需要多给他强化正确的思维方式，以免学生总在课堂上剑走偏锋。而给顶尖高手上大堂课，用到的题目都很有难度，而学生思维都很有发散性，他们提一个思路出来，我就需要用很长的时间研究前景如何，以我目前的水平还hold不住这样的课堂。所以给他们上课我通常就是解读自己的方法，然后谁有不同的方法就再起来讲讲。而对于中间层次的同学，我喜欢用的一种启发方式就是罗列重要线索让他们用一个简洁的工具把这些重要线索穿起来。就不展开谈了。
·数学竞赛让适合它的学生终身受益
什么样的学生适合开始学数学竞赛呢？
首先就是最好对数学有浓厚的兴趣。比如今年拿到金牌的陈同学，他就是发自肺腑地热爱数学。他有两个口头禅，分别用在“做了好久还不会”和“做了好久终于会”两种场合：“浑身难受”和“浑身舒服”。看着他浑身难受那个神态，就情不自禁的也觉得浑身难受了；反之亦然。说明数学已经融入了他的魂魄，才能给人如此强烈的情感共鸣。
然后是关于文化课成绩。当文化课成绩很不错时，竞赛会和文化课相得益彰。比如城阳区最近五年理科高考区状元（包括一个市状元）全部都考上了北大或清华，也全部都是主攻数学或物理竞赛的。但是当文化课成绩一般时，在升学的压力下，同样的精力用来补弱科通常提升更大。当然也有例外：比如陈同学文化课全校排600名左右，破釜沉舟搞竞赛，终于还是成功了——但这样的例子实在稀少，而且通常需要从小培养起来的童子功。
再就是一点天赋。它占的成分不大，因为侠客通常干不过战士。
坚持学下来竞赛的学生的最大收益不在于能考多少分儿，能获多高的奖。而在于思维素养的提高、视野的开拓、意志品质的锻炼。这些让人终身受用。所以联赛失利的同学，一定要往前看啊。二中2019届两大高手赵同学、姚同学在18联赛中折戟，但两人一个考上南大后又考上了数学实验班；另一个考上西交后又考上了钱学森数学实验班。有一次表弟发给我一个号称很难的象棋残局，我用“联系”的眼光看问题：咦，这不刚好对应着组合数学中的尼姆取子游戏吗？当你听两个人辩论时，把一个家伙的理论建个模，发现他在偷偷地由原命题成立推出了逆命题成立，这不是典型的简易逻辑错误吗？——学习数学竞赛像拥有了一艘装满了货物的船。多年以后你可能卸下了当年盛过的很多货物，但船一直都在。
造就终身发展之生命主体，此言得之。
谢谢阅读到这里。
李老师
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讲地又讲理