中考数学最值系列之辅助圆（二）
在上一篇【中考压轴】最值系列之辅助圆（一）我们了解了根据圆的定义来构造辅助圆，本文介绍另外两种方式：
1、定边对直角；
2、定边对定角．
【知识回顾】直径所对的圆周角是直角．
【构造思路】一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
【图形释义】
若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．
【解题关键】挖掘直角，确定定边．
例题解析
已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PC的最小值为_________．
【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在PC最小值这样的问题，那P点轨迹如何确定？
考虑BE=CF，易证AE⊥BF，即在运动过程中，∠APB=90°，故P点轨迹是以AB为直径的圆．
连接OC，与圆的交点即为P点，通过勾股定理可求OC，再减去OP即可求出PC长度．
动点轨迹通常“非直即圆”，分析动点形成原理，寻找与动点相关定边与定角．
2013湖北武汉
如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．
【分析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，
所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧
当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理先求OD，再减去OH即可．
2016安徽中考
如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是______．
【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，
∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．
当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可．
确定定边
如图， AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为_______．
【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，∠AEC=90°，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧．
当B、E、M共线时，BE取到最小值．连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可．
挖掘直角，确定定边
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为________．
【分析】考虑到E点有连接BD与圆O相交所得，所以可连接CE，则CE⊥BD，考虑到CD边是变化的，可取BC边为定边．
取BC中点M，E点轨迹是以M为圆心，MB为半径作圆弧．
连接AM，与圆M的交点为所求E点，此时AE值最小，勾股定理先求AM，再减去EM即可．
2019苏州园区一模
如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为______．
【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的．
重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点．
∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆．
记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可．
辅助圆+将军饮马
如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．
【分析】∠AFB=90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆．
考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C’，化PC+PF为PC’+PF，当C’、P、F、O共线时，取到最小值．
辅助圆+相切
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．
【分析】∠AEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧．
考虑EF⊥AB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值．
连接OF，易证△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．
在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆．
当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．
若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．
若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．
若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．
若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．
当定边所对定角为β的时候，以定边为弦，2β为圆心角构造圆．
例题解析
如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．
【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．
所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．
所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）
当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．
2017山东威海
如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．
【分析】由∠PAB=∠ACP，可得∠APC=120°，后同上例题．
2019江苏南京
在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是_______．
【分析】先作图，如下
条件不多，但已经很明显，AB是定值，∠C=60°，即定边对定角．故点C的轨迹是以点O为圆心的圆弧．（作AO=BO且∠AOB=120°）
题意要求∠A>∠B，即BC>AC，故点C的轨迹如下图．
当BC为直径时，BC取到最大值，
考虑∠A为△ABC中最大角，故BC为最长边，BC>AB=4．无最小值．
2019湖北武汉
如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_______．
【分析】分别考虑C、E两点的轨迹，C点轨迹上是弧MCN，其对应圆心角为∠MON，半径为OM（或ON）．
再考虑E点轨迹，考虑到CE、AE都是角平分线，所以连接BE，BE平分∠ABC，可得：∠AEB=135°．
考虑到∠AEB是定角，其对边AB是定线段，根据定边对定角，所以E点轨迹是个圆，考虑到∠ADB=90°，所以D点即为圆心，DA为半径．
E点轨迹所对的圆心角为∠MDN，是∠MON的一半，所以C、E两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．