重庆南开中学高2021届月考第22题：定比点差法

天越来越冷，而我越来越接近冬眠。除了吃和睡，别无他求。

你不想努力了？

我想过，毕竟几人真得鹿，不知终日梦为鱼。还是做个势不可挡的俗人更好。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

乍看此题，以为稀松平常，没想到运算量超过了想象，算到令人绝望。我还是大意了，南开中学的题目是不应该怀疑的，况且是第22题。

没错，双共线问题。自2008年安徽高考压轴题（见操作）首次出现以来，便层出不穷，尽管改头换面，但终究是换汤不换药。

如今，处理双共线问题已不是什么难事，诸如定比点差法、极点极线法、转移代入法等都极为有效。当然，最基本的方法依旧是韦达定理，只是运算量通常都会大到可怕。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

本题中的定点P不在坐标轴上（事实上在椭圆的准线上），所以联立方程相对复杂。将参数用坐标表示是解题的关键，为下一步韦达定理代入做好铺垫。

单从步骤上看似乎不难——那是为了保持结构优美，我省略了中间过程。另外，由于我事先就知道结论为0（见法3），所以只需计算分子即可。

本题不难理解，放在压轴题的位置，我猜命题者应该是基于运算的考虑。

前面已多次提到“定比点差法”，但总是点到为止，意犹未尽，本讲就索性和盘托出。

所谓定比点差法，就是将中点弦的点差法推广至定比分点弦，其步骤是：首先设出交点坐标，代入椭圆方程，构造定比点差；然后将共线向量转化为定比分点坐标，代入定比点差式中；最后根据需求得出结论。

更多关于定比点差法的理论，见脑洞。

法3虽然酣畅淋漓，但很遗憾，它不能直接使用。不过先用来判定结论，再谋求过程还是不错的。我就是这样做的。

法2有理有据，步骤详实，可直接应用于解答题中（定比分点在教材中没有直接给出，但在例题和探究中均有涉及），感兴趣的不妨掌握。

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

1.定比分点：

2.定比点差法：

3.调和共轭定理：

4  操作

行同陌路，抑或一见如故