2020年第九届欧洲数学杯 初级组 中文翻译

据赵力老师介绍, 欧洲杯数学奥林匹克(European Mathematical Cup, EMC)是由克罗地亚数学家Marin Getaldić组织发起的一项针对中学生进行的网络数学竞赛活动, 从2012年开始举办. EMC在每年12月份举行, 采取通讯赛形式. 竞赛分为初级组和高级组两个级别. 参赛者需要在4小时时间内解答4道题, 代数, 几何, 组合及数论各一道题. 所需知识范畴上, 高级组赛接近IMO水平(这个译者不太赞同), 初级组接近巴尔干初中数学奥林匹克(JBMO)水平.

初级组

1.如图, 中,D,E分别为AB,AC中点, F为E关于D对称点. 直线FC与外接圆再次相交于H. 在线段CD上取点G, 使得BG中点恰好在上. 求证: B,H,C,G共圆.

2.对正整数 ，若存在正整数 以及满足如下条件的正整数组 ，就称是"好的":
 对任意 满足 ,均有;
均为 的因数;
的任意其他因数要么小于 ,要么大于.
求所有"好的"正整数.

3.给定以下两种形状的薄片.

求所有正整数 ,使得我们可以用上述薄片完美的覆盖一个 的网格表的 个单元格, 使得其中每个单元格都被覆盖一次,没有重复, 薄片也没有盖到网格表之外的范围. 当然, 薄片可以被旋转或翻转.

4.已知正实数 满足 . 证明不等式:

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。