合集 | 正弦曲线的直观解释
翻译小组成员介绍: Alex
Alex，英语爱好者，现工作于洛阳
文章: betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-sine-waves/
译者: Alex 校对: 向海飞
正弦波的直观解释
Intuitive Understanding of Sine Waves
正弦波(正弦曲线)曾使我迷惑不解。我可以一边念叨“正弦，余弦，正切”，一边画着三角形，但它意义何在？
我一直误认为正弦源于其他形状。设想场景：
你：几何讲的是形状、线条之类...
Alien:哦？老师能举一个线条的例子吗？
你（左顾右盼）：嗯……看到那块砖头了吗？线条就是砖头的一条边。
Alien：所以，线条是形体的一部分。是吗？
你：差不多可以这么理解。大多数图形中包含线条。但线条本身是一个基本概念。比如一束光，地图上的一条路径，甚至...
Alien：砖头包含线条，线条来自砖头。砖头、砖头、砖头。
数学课几乎就是这个样子。“圆包含正弦，正弦来自圆。圆，圆，圆。”
哎呀！不对！圆只不过是正弦的一个例子。一句话：正弦是一种自然摆动，象征着平滑，它使得圆很“圆”，如同直线使得正方形很“方”。
让我们正确看待正弦形状本身以建立直觉，然后弄清楚这家伙和圆形等的关系！开始啦！
正弦和线条
Sine vs Lines
概念和例子是有区别的：线条是一个基本的概念，而正方形只它的一个例子。同理，正弦也是一个基本概念，并非圆的一部分。是不是开始柳暗花明。
我们通过下面的程序观察正弦。注意观察：
首先请点击开始键。好了，程序开始运行了！看到黄色小球正平稳地来回运动吗？那就是正弦！它是一种自然的摆动，如同弹簧的弹跳，钟摆的摆动，琴弦的振动...自然界中很多物体都可以做这种运动。
现在请将“垂直”选项设置为“线性”。是不是变化很大 - 运动变得固定和机械，如同一场乒乓球比赛？
通过视频我们能看得更清下面请看
线性运动是恒速的：以固定的速度运动，到边界后立即转身。机器人舞蹈就是这种不自然的线性运动（注意07秒的无缓冲线性反弹和38秒的迟滞效应）。
正弦运动是变速的：开始快，慢慢减速直至停止，然后又开始加速。液体波动就是这种迷人的平稳运动（注意12秒和23秒的正弦运动以及47秒的自然反弹）。
遗憾的是，教科书并不用动画或者舞蹈来阐述正弦波，更喜欢把正弦波画在时间轴上（请将“水平”选项设置为“时间轴”）。
惊讶吧，这就是我们经常看到的正弦波示意图。从这张图里你能找到正弦运动的感觉吗？反正我是找不到。还是先观察正弦运动，然后记录它的运动轨迹吧。
绕不开的圆
The Unavoidable Circle
圆的确包含正弦，但是要从圆里看出正弦来，其难度不亚于从煎蛋饼里挑出鸡蛋。全混在一块儿啦！
不着急，慢慢来。我们回到上面的程序。重新设置为：
Vertical(垂直):none，
Horizontal(水平):sine*。
看黄色小球是不是开始水平摆动？那就是正弦运动。只不过我们做了些微调：正常情况下，正弦从中间点开始运动，迅速移动至最大点，然后返回中间点，周而复始。这次，黄色小球是从最大点开始，然后返回中间点。我们称从最大点开始的正弦为余弦。其实余弦只是正弦的一个不同版本（如同水平线是垂直线的不同版本。大家都是直线，只是方向不同罢了）。
万事俱备。是时候让两个正弦波同时动起来了：请将程序设置为：
vertical:sine，
horizontal:sine*...
见证奇迹的时刻到了，我们居然得到了一个圆！
水平向和垂直向的正弦运动组合得到圆周运动，多神奇！但是教科书从不这么解释。它们总是先画一个圆，然后试图从中分解出正弦。但是相对于“分解”，我更喜欢“组合”：先画水平正弦和垂直正弦，然后组合得到圆。
快速问答
Quick Q & A
我初学正弦时可没有这些认识：
正弦是1维的
正弦波在1个维度摆动。现实中，我们常常把正弦波画在时间轴上，而且正弦运动的物体有时确实是在向前移动的。这给我们造成了一个假象：正弦运动是2维的。但并非如此！在1个维度弹跳的弹簧做得就是完美的正弦运动。
1维正弦运动
来自Wikipedia, 不要被催眠了
两个正弦波组合成圆
圆和正方形均是基本单元（正弦和线条）的组合。圆由1个水平向和1个垂直向的1维正弦波关联组合而成。
但是圆并不是正弦波的源，同样正方形也不是线条的源。它们仅仅是例子。
正弦值的意义是什么？
正弦值位于-1和1之间。它开始于0，逐渐增大至1.0（最大值），然后减小至-1.0（最小值），最后返回到0。如果把正弦值看成一个百分数，那么正弦运动就如同急行军，从0开始加速到100%（全速前进）后来又从-100%（全线撤退）回到0。
正弦sin(x)的输入x指的又是什么？
虽然有些费解，但是也可以弄清楚。sin(x)是一个无限循环，而输入x就是我们在这个循环里的位置。
还是先看看直线吧：
假设，你沿着一个在正方形的边行走，走完每条边需要10秒钟。
1秒后，你走完一条边的10%
5秒后，你走完那条边的50%
10秒后，你走完整条边
线性运动就是这样平淡无奇。现在看看正弦（注意“0到最大值”这个区间）：
正弦波的递增区间
这次，我们沿着正弦波行走，从0（中间值）走到1.0（最大值）。此过程需时10秒。
5秒后，我们走完行程的70%！正弦运动在起始点的速度很快，然后慢慢减速。前5秒内就完成了大半行程。
剩下的5秒，我们将走完剩下的70%到100%这段行程。而且，最后98%到100%这段我们将整整走1秒钟。
尽管初始速度很快，但是正弦运动就是这样，它会温柔地减速，直至停在最大值，然后华丽转身。就是这份从容使得正弦波格外与众不同。
快速问答：线性循环的10%和正弦循环的10%，哪一个距离原点更远？答案是正弦。前面提到，正弦运动在原点的速度最快。当正弦运动完成循环的50%时，它的速度降低到线性运动的平均速度，之后正弦运动继续减速，直至停在最大点，然后返回。所以，在开始阶段正弦运动跑得比线性运动快。
可见，输入x是指完成循环的量。那么，循环又是什么呢？
这和应用背景密切相关。
在基础三角学中，'x'为角度，一个循环为360度。
在高阶三角学中，'x'为弧度（弧度更自然），一个循环为单位圆一周（2pi）
问题又来了，循环依赖于圆！我们还能摆脱圆的纠缠吗？
无形之 π
Pi Without Pictures
书接上文(点击这里查看), 让我们继续探索正弦曲线/正弦波...
假设Alien本人视力极差，仅能模糊地分辨明暗阴影。怎样向他描述 π 呢？因此就很难让Alien明白圆周的概念，对吧？
退一步，以旁观者的角度来观察。正弦是一个循环图案，意味着它要不断地重复！从0增加到1，然后开始减小到0，继续减小到-1，然后又回到0，周而复始。
定义π为正弦从0增加到1并回到0所需要的时间。这样一来，就可以脱离圆来使用π了。其实π的概念只是凑巧被显示在圆内罢了。
正弦是一种平缓的来回摆动
π是正弦从中间位置摆动到最大值然后回到中间位置所需要的时间
n*π（0*π，1*π，2*π，如此类推）是正弦运动处于中间位置的时刻
2*π，4π，6*π等等，是正弦运动完成整数倍循环的时刻
这就是π经常出现在公式里的原因！π和0和1一样并不属于圆 - π用于描述正弦运动回到中心位置的时刻。而圆只是一个与π相关的图形，它不断重复，并每2*π个单位时间回到原位一次。其实，弹簧，琴弦震荡等正弦运动也是每π个单位时间回中心位置一次。
问题：
如果π是半个循环，为何不是一个简单的整数呢？
这得先从另外一个问题入手。为何一个边长为1的正方形有一个长度为根号2（=1.414...一个无理数）的对角线？
当数学遇到难以解释的自然现象时，就会带来哲学上的困惑。虽然直觉不佳，但我仍然本能的意识到简单的规则（边长为1的正方形配上勾股定理）同样可以解决复杂的问题。
正弦运动有多快？
How Fast Is Sine?
前面，我“设想正弦运动从0到最大值需要10秒”。现如今，我又说正弦运动从0到最大值然后返回0需要π秒。那么正弦运动到底有多快呢？
sin(x)是正弦波的一种最为常见的表达式。它的确需要π个单位时间从0到最大值并返回0（或者需要2*π个单位时间完成一个循环）
sin(2x)的速度快一倍
sin(x/2)的速度慢一倍
以此类推，我们可用sin(n*x)来获得指定速度的正弦波。但通常情况下，“正弦波”指一种图形，而非速度。
第二部分：理解正弦波的定义
Part 2: Understanding The Definitions Of Sine
这部分内容有些费脑 --如觉必要可先放松一下。通过上述学习，希望已经对正弦有了基本概念。接下来学习正弦的常用定义，研究之间的相互关系，并建立起“正弦直觉”。
定义1：三角形的高和圆
Definition 1: The Height Of A Triangle / Circle!
正弦首先是在三角形里发现的。你也许还记得我在文首念叨的“正弦，余弦，正切”
正弦: 正弦是对边除以斜边
SOH: Sine is Opposite / Hypotenuse
余弦:余弦是邻边除以斜边
CAH: Cosine is Adjacent / Hypotenuse
正切:正切是对边除以邻边
TOA: Tangent is Opposite / Adjacent
直角三角形中，sin(x) 是角x的对边除以斜边。如果定义斜边为1，可以简化为：
正弦=对边
余弦=邻边
进一步，我们可以将斜边为1的三角形画在半径为1的圆内。
单位圆内的正弦
如果使用等比缩放的方法，一个圆可以包含所有的直角三角形。例如：
sin(45) = 0.707
将一根100英尺长竹竿一端抬高与地面形成45度角。则竹竿的最高点离地面10 * sin(45) = 7.07英尺。
一个8英尺的竹竿将离地面8 * sin(45) = 5.65英尺。
这种方法对建筑业意义非凡（不用实测金字塔就可得到相关尺寸）。遗憾的是，千年之后，我们却开始相信正弦是三角形的高。我们对正弦误解太深，它其实是一种显示在圆（和三角形）中的形状。
实际上，在许多问题上我们都会运用“图形模式”思考，想着正弦等于三角形的高，以提高解题效率。这很好，但别局限于此。
定义2：无穷级数
Definition 2: The Infinite Series
我们此前避开了一个重大问题：怎样计算正弦值？计算器是通过画圆并测量长度得到正弦值的吗？
只是开个玩笑而已。下面来解开正弦的秘密：
正弦是与当前位置相反的加速度
以银行账户为例：你有一个固执的老板，他执意根据银行账户来确定你的工资增幅，并且增幅与你账户余额恰好相反。比如账户现有50美元，那么你下周工资增幅就是-50美元。当然，假如你当前本周工资是75美元，因此下周你仍然有25美元的收入(75-50)。但是，当这种“负的增幅”最终超过你的收入时，你账户就开始透支了。
但是，也用不着担心！一旦你的账户变成负的（比如为-50美元），老板会给你每周50美元的增幅。下周你的收入可能仍然负的，但是“正增幅”最终增幅会超过它，你的账户就开始增长。
恒定的向心力使循环得以持续：上升时，向心力会偷偷把你拉回来。这也解释了为什么正弦波在中间位置速度最快：从最大值开始的回落过程不断积累“负增长”。到达中间位置时，“负增长”达到最大。一旦越过中间位置，开始获得正能量，并逐渐放缓。
题外话：既然正弦是与当前位置相反的加速度，而圆又是由水平和垂直正弦波组成...所以，圆周运动可以描述为：在“一个持续的与当前位置相反的朝向水平和垂直中心的向心力”牵引下的运动。
正弦与微积分
Geeking Out With Calculus
用微积分描述正弦曲线/正弦波。如同 e，正弦波可以分解为更细微的起伏：
正弦波从0开始以单位速度增长
此过程中，一个相反的加速度企图将它拉回原点
该如何理解这个过程？上述力量如何改变正弦波离原点的距离？
初始推力使得距离线性增长：y (离原点距离) = x (时间)
随时受到一个大小为 -x 的反方向作用力。通过双重积分，将负的加速度转换为距离：
加速度对距离的影响如同上例中工资增幅对银行账户的影响。“工资增幅”势必改变收入，而收入又改变银行账户（两个改变累‘积’发生作用）。
因此，不难猜到，x 秒之后正弦值为 x（初始值）减去 x³/3!（负加速度的影响）：
但是，好像哪里出错了 -- 正弦是一个平稳的过程，并不会骤然下降！e是 通过“增长产生增长”的模式逐渐缓缓递增的，正弦实质上也一样。“反作用力”使正弦离原点的距离减小 x³/3!，而这个‘减小’又产生了另外一个“反作用力”。观察弹簧不难发现：拉伸的弹簧向平衡点运动，然而它在向下回弹时又会越过平衡点，继而产生一个向上的拉力（同理，弹簧在向上回弹时也会越过平衡点）。疯狂的弹簧！
每一个“反作用力”都需要被考虑到：
y = x是初始状态，产生一个“反作用力”
y = -x³/3!，产生一个“反作用力”
y= x^5/5!，产生一个“反作用力”
y = -x^7/7! ，产生一个“反作用力”
......
正弦波的优化模型
如同e，正弦可以描述为一个无穷级数：
当我将正弦看作初始推力和反作用力的组合时，这个公式就容易理解了。初始推力（y=x，正方向）最终会被反作用力超过，而这个反作用力最终又会被它自己的反作用力所超过，周而复始，无限循环。
余弦与微积分
The Calculus Of Cosine
余弦是位移后的正弦。既然已经理解了正弦，余弦当然不在话下！
正弦：开始于0，初始推力为 y = x (100%)
余弦：开始于1，无初始推力
所以，开始时余弦待在1这个地方，静候反作用力来推：
同理, 我们对-1双重积分得到第一个反作用力-x²/2! 。这个反作用力产生了第二个反作用力，第二个又产生了第三个...结果就得到下面的式子：
定义3：微分方程
Definition 3: The Differential Equation
上式用特定的方程描述正弦。其实，一个更简洁的方法是用微积分方程：
WolframAlpha查询结果
这个公式极具数学之美：
初始位置为 y
加速度（二阶导数y''）与当前位置相反（-y）
这个公式在正弦和余弦里都能得到验证。可是，一开始我是拒绝这个定义的。它和正弦的形象简直差之千里。然而，我没意识到它揭示了正弦的实质（“与当前位置相反的加速度”）。
正弦和 e 相互关联，而且e^x可用下式表述：
与正弦公式相似，只是符号变为正，即“加速度与当前位置相等”。然而，如果正弦仍然被表述为“圆内高度”，那么我们很难将它和 e 联系起来。
我很遗憾没有学好微分方程。但是现在我想学了，因为微分方程使得正弦表述起来更简洁，并且我觉得对正弦和e拥有直觉对学会数学尤为重要。
总结
Summing It Up
本文目标是展示更多更多正弦的内容（基本的图形和的概念），而不是数学中一个微不足道的角色（圆的一部分）
正弦是在极大值（1）和极小值（-1）之间的平稳摆动。从数学角度看，就是加速度与当前位置相反。这个“负增长”使得正弦永不停歇的摆动下去。
正弦并非圆的一部分，只是碰巧出现在了圆和三角形里（弹簧，钟摆，琴弦震荡，声波等都是正弦波）
pi是sin(x)从中间位置出发然后又回到中间位置所需的时间。同样地，pi并不属于圆，也碰巧出现在圆里罢了。
把正弦装进“头脑工具箱”（以便用于产生平滑运动）。最终，我们将直观地理解这些基础概念（e，pi，弧度，虚数，正弦等等），并用它们做出一道美味的数学“大餐”！享受吧！(完)
「予人玫瑰, 手留余香」感谢支持!