第30讲:《定积分的物理应用》内容小结、课件与典型例题与练习 2024-04-21 21:41:55 数学与物理是一对孪生兄弟,有时候数学是依仗物理发展而发展,反过来,物理发展又以数学作为基础和工具,微积分的发明就是从几何和物理两个方向展开的(分别由莱布尼兹和牛顿完成)。因而积分在物理上的应用不胜枚举。一、定积分建模适用的问题类型能用定积分模型描述的量的特征:(1) 所求的量的大小可以由一个一元函数及其定义区间决定,即是一个分布在区间上的量;(2) 所求量具有对区间的可加性:分布在区间上的总量等于分布在各子区间上的部分量之和,即通过分割区间可以将总量分割为部分量,并且各部分量的和等于总量.二、用“微元法”构建定积分模型的基本步骤用“微元法”(或称为“元素法”) 构建定积分模型的基本步骤概括为十个字:“分割取近似、作和求极限”,具体步骤如下:1、定型依据能用定积分模型描述的问题特征,判定所求量是否能用定积分模型描述,即是否适合使用定积分模型求解.2、定线将所求量分布到一条有限长度的线段上,使得可以通过对线段的分割,实现对所求量的分割。量的分割方式可以就为线段上的点(如果量直接分布在线上);也可以通过在线段上取点,做垂直于线段的直线(分布在平面上的量)或者垂直于线段的平面(分部在空间中的量)实现对所求量的分割.【注】线段的选取不唯一,也不一定为直线,可以是曲线,比如圆弧.3、定限在选取的线段上,指定适当位置为原点和一个方向,建立数轴(或为坐标系中的一个坐标轴,极坐标系中可以为极轴,也可以为一个同心圆弧),确定线段在数轴上占有的区间范围(即所求量就分布在对应的线段上,或者分布在过两点垂直于数轴的两直线或两平面之间), 即为定积分的积分区间.4、分割取近似在确定使用的变量范围内,任取 ,给一个增量 ,则在两端点 位置采用合适方式(点分割、线分割、面分割)分割总量,并用 位置确定所求量大小的属性近似代替小区间内对应部分量的整体属性(如高、密度、浓度、速度、力、距离、截面积等),然后采取“以直代曲、以不变代变”,将不规则问题规则化(即曲边用直角边代替、变属性用常属性代替)”的近似方式,将分布小区间 上的部分量 为近似描述一个关于 的函数与增量 的乘积,即5、作和求极限以为积分限,为被积表达式,写出总量计算的积分模型,即6、计算计算定积分得到结果.【注1】:如果对于整个区间不能建立统一的被积表达式,可以考虑对区间进行分割,分成几个区间分别重复“元素法”的步骤建立积分模型,分别计算定积分,然后借助量的可加性,求和得到最终的总量。【注2】定积分只能是数量(标量)的求和,因此对于矢量的计算应该分解为标量,即分别对不同方向上的量进行计算来处理,比如平面上物体间引力的计算,可以建立适当平面直角坐标系后,将量分解为轴和轴方向分别计算,最终力即为两个方向力的合力.【注3】:以上步骤主要适用于直角坐标系,对于分部在圆弧上的量的计算,可以考虑极坐标系上处理,这个时候考虑的变量范围可以为圆弧分布的圆心角,而分割,则可以为从圆心出发的射线分割总量为部分量. 比如求圆心角为 ,半径为 ,线密度为的圆弧形物体的质量,则变量的范围可以直接取为或 等,且该题可以通过分割圆心角范围,计算对应小段的弧长,并用 位置的密度代替小弧段的线密度,从而得到相应小弧段的质量近似计算公式,然后在 的范围上积分得到最终结果.基于数学软件的不定积分、定积分的计算与近似数值计算方法,以及计算结果正确性、有效性的验证,可以参见如下的两个推文: 在线计算专题(07):不定积分、定积分与重积分、曲线、曲面积分的计算 一道积分算一天,你确信积分对了吗? 赞 (0) 相关推荐 十年教学,我把小学6年的30个应用题模型总结成147页ppt 对于小学数学的学习,我们知道我们一定要善于去总结,把不同题型总结成一个类型,比如说很多同学经常会遇到各种各样的应用题,应急的场景如何把它化解为公式,这是非常重要的.大多数孩子在做这类题的时候总觉得题是 ... Logistic回归模型C统计量及95%可信区间计算 临床预测模型是临床研究的常用方法,通常我们构建出模型,需要对模型进行评估,其中一个重要指标是区分能力,也就是区分有病/无病.有效/无效.死亡/存活等结局的预测能力.区分能力一般用C统计量的大小来表示. ... 第29讲:《定积分的元素法与几何应用》内容小结、课件与典型例题与练习 定积分的几何应用一般用于求平面区域的面积.空间立体的体积和曲线段的长度.它们的求解都可以基于元素法(或称为微元法),即"分割取近似,作和求极限"来构建定积分模型. 一.微元法(元素 ... 第28讲:《定积分的换元法与分部积分法》内容小结、课件与典型例题与练习 定积分的换元法与分部积分法是定积分计算的基本方法,即在基于微积分基本公式,直接应用基本初等函数的不定积分基本积分表和线性运算计算出定积分时,首先应该考虑的定积分计算思路与方法. 两种方法应用的被积函数 ... 第27讲:《变限积分与定积分的近似计算》内容小结、课件与典型例题与练习 一.变限积分函数及其性质 (1) 如果函数 在 上可积,则 在 上连续. (2) 如果函数 在 上连续,则变限积分函数 可导,且 [注1]上面 定义的函数是 上连续的函数 的一个原函数. 即闭区间上 ... 第26讲:《定积分的性质与微积分基本公式》内容小结、课件与典型例题与练习 一.定积分的主要性质及使用说明 1.线性运算性质 (1)常数可以提到积分符号外面来计算积分: (2)函数和与差的积分等于积分的和与差:反过来,积分上下限相同的两个积分的和与差等于两个积分的被积函数的和 ... 第25讲:《定积分的定义及应用》内容小结、课件与典型例题与练习 一.定积分的定义 把握两个任意一个总 (1) 对区间的分割是任意的: (2) 在子区间上点的取值位置是任意的: (3) 对两个任意,积分和总是趋于同一个极限值. [注1]积分值与积分变量无关,注意 ... 第06讲:《空间曲面及其方程(二)》内容小结、课件与典型例题与练习 一.柱面及其方程 平行定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹称为柱面. 定曲线称为准线,直线称为母线. 准线与母线不唯一. 以平行于坐标轴的直线为母线的柱面方程为由两个变量描述的方程,即在空间直角坐标系 ... 第04讲:《空间直线及其方程》内容小结、课件与典型例题与练习 一.空间直线的方向向量 给定一条直线,称平行于这条直线的非零向量为该直线的方向向量.显然,与直线平行的所有非零向量均可作为此直线的方向向量. 直线上的所有向量都与该直线的方向向量平行. 直线的单位方向 ... 第08讲:《向量值函数的基本概念、导数与积分及应用》内容小结、课件与典型例题与练习 一.向量值函数的概念 一元函数是一个由定义域到值域的映射,其定义域与值域都是一维数集.向量值函数是指分量都是关于同一自变量的一元函数,就是说 元向量值函数是 到 上的映射. 比如:二维向量值函数: 三 ... 第37讲:《可将阶的微分方程及奇解与包络》内容小结、课件与典型例题与练习 一.可降阶的微分方程 可降阶的微分方程归根结底可以归结为一阶微分方程问题,针对于一般教材中只讨论了二阶的类型,可以扩展为如下三种类型: 类型(1): 或者是可以解出以上描述的方程 . 该类方程通过对右 ...