因式分解（11）

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上周说起奥数，就实在是忍不住恨哪。。。写多了，继续回来把因式分解写完。

待定系数法最经典的应用就在于齐次轮换对称式的应用上。

贼老师

所谓的齐次轮换对称式

是指多项式每项的次数相等，并且任意轮换之后（例如x→y，y→z，z→x）结果不变的多项式。

这种多项式因式分解的特点有：次数高，项数多，分解难度大，可谓是因式分解的终极杀手。

但是待定系数法简直就是这一类的克星！专治齐次轮换式的不服！

在开始我们的例子之前，我们必须明确这样一个事实：

对称的式子，乘积或者分解完了还是对称的。

这个可是很重要的一个基本原理哦！

对于一次的对称式，很显然是x+y+z；

二次的对称式有两种：

当然，xyz和(x+y)(y+z)(z+x)是我们考虑的三次的对象——从式子的特点可以看出，如果我们某个齐次轮换式含有x或者x+y的话，那么必定含有其他的两个分量。

我们来看一些具体的例子，来说明待定系数法的威力！

贼老师

例1

因式分解：

等等！这个不是公式吗？

没错啊，是公式，但是公式也是可以推导的啊？！

贼老师

怎么上手？

注意哈，贼老师要变了！那位家长！你当学生的时候就不听讲，现在还不听吗？对，说你那！题目本身不重要，但是怎么想的很重要！！！

贼老师

因为这是个三次多项式，所以分解完了肯定要有一次式，而一次的对称式只能是x+y+z，所以把x+y+z作为除式，直接用带余除法一除，如果能除尽，那就完事了，事实上当然可以除尽：

那么用待定系数法怎么做呢？

首先我们要判断x+y+z是不是上式的因式。如何判断？

大家是否还记得我们如何判断多项式是否含有x-1的因子的？

没错，就是令x=1代入到多项式中去，如果多项式等于0，那么必定含有x-1！

道理很简单，因为当x=1时，x-1=0，如果多项式含有x-1的因子，那就应该分解成(x-1)(……)的形式，那么当x=1时，多项式自然为0.

这点很重要！！！

贼老师

事实上，这就是打通多项式和方程之间联系的桥梁！我们学数学，观点很重要。很多时候数学提不高，是因为眼界太低，只注重本章节的一亩三分地，而忽略了知识点之间的联系！

所以家长一定要帮助孩子打通不同章节之间的联系，要学会用不同的观点来看知识点。多项式和方程其实是有着天然紧密的联系的，但是很多时候被忽视了。

接下来我们继续从方程的观点看，如果

含有x+y+z的因子，那么也就是说x+y+z=0的时候，

也要等于0.

我们令x=-y-z，代入到上式中去，经过计算，

确实等于0，也就是说原式含有因式x+y+z。

那么其余部分该如何确定呢？

贼老师

很显然，上式不等于x+y+z的三次方，那么剩下的必然是对称的二次项。而二次的对称式只有两种可能：

具体哪种？

不知道。

于是我们可以进行待定系数了！

贼老师

设

然后令x=y=1,z=0,x=y=z=1分别代入到上式，把a,b解出来即可！

是不是觉得很方便？！

贼老师

我们再来看一个：

例2

如果你考虑把前面这部分展开，这是不现实的。。。理论上前面的式子展开有243项，就是合并同类项完了还有好几十项。。。

所以很多人直接拿到题目就quit了。

我们用待定系数法来看看！

很显然，x+y+z=0时原式不一定等于0，于是又。。。做不下去了。

因为二次项根本无法确定啊！

好，这时候该如何转弯呢？

你应该指导孩子：一次二次都完蛋了，我们还有三次啊！

贼老师

没错，这时候我们可以看看xyz和(x+y)(y+z)(z+x)是不是原式的因子！

而由于这两种三次式也都是对称式，所以只要考虑x=0或者x+y=0是不是因子就可以了。

我们令x=0代入原式，发现原式并不一定为0，pass；

而令x=-y时，我们发现：原式等于0了！

所以一定含有(x+y)(y+z)(z+x)！剩下的二次就很好待定了。

我们可以设原式分解为：

具体的步骤为：

今天的内容信息量比较大，好好消化哟！

贼老师

敲黑板划重点

一是待定系数法如何灵活运用；

二是如何从方程的角度看多项式因式分解。

下课！

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