压轴题打卡56：四边形有关的分类讨论综合问题

如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB于点D，动点P从点A出发，沿AC以1cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，过点P作PQ∥BC交折线AD﹣DC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQR，设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为S（cm²），点P运动的时间为t（s）．

（1）当点Q在线段AD上时，用含t的代数式表示QR的长；

（2）求点R运动的路程长；

（3）当点Q在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式；

（4）直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值．

参考答案：

考点分析：

四边形综合题．

题干分析：

（1）当点Q在线段AD上时，如图1，根据四边相等的四边形是菱形证明四边形APRQ是菱形，则QR=AP=t；

（2）如图2，当点Q在线段AD上运动时，点R的运动的路程长为AR，当点Q在线段CD上运动时，点R的运动的路程长为CR，分别求长并相加即可；

（3）分两种情况：

①当0＜t≤4/3时，四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是菱形APRQ的面积，

②当4/3＜t≤2时，四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积是五边形APFMQ的面积，

分别计算即可；

（4）分两种情况：

①当∠BRQ=90°时，如图6，根据BQ=2RQ列式可得：t=4/3；

②当∠BQR=90°时，如图7，根据BR=2RQ列式可得：t=8/3．

解题反思：

本题是四边形和三角形的综合题，考查了等边三角形的性质和判定、菱形的性质和判定、动点运动问题、二次函数等知识，熟练掌握菱形和等边三角形的性质与判定是关键，利用数形结合的思想解决重叠部分图形的面积问题．

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