低层轻钢骨架住宅设计——工程计算II（29）

（十）计算有效截面特性

⒈计算转动惯量I_x

⑴参考美国钢铁协会设计规范（AISI，1986）中的B4.2部分，计算边缘转动惯量I_a：

取

E=203×10³MPa

f=263.068MPa（由于冷轧）

b₀/t=31.93/1.818

=17.565＜60

c₀/t=8.167/1.818

=4.492＜60

计算

S=1.28(E/f)^1/2

=1.28×(203×10³/263.068)^1/2

=35.557

S/3=35.557/3

=11.852

因为

b₀/t＞S

按情况I计算

I_a/t⁴=399(1-0.33)³

则

I_a=399t⁴(1-0.33)³

=399×1.818⁴×(1-0.33)³

=19.229mm⁴

=19.229×10^-4cm⁴

⑵计算全部边缘（唇缘）加强筋的转动惯量I_s：

因为

c₀/t=8.167/1.818

=4.492＜14（c₀/t最大值）

则

I_s=tc₀³/12

=1.818×8.167³/12

=82.528×10^-4cm⁴

因为

I_s/I_a=82.528×10^-4/19.229×10^-4

=4.292＞1

所以取

I_s/I_a=1

因为

c/b₀=12.7/31.93

=0.398

0.8＞c/b₀＞0.25

则取

n=0.5

k=(4.82-5c/b₀)(I_s/I_a)ⁿ+0.43

=(4.82-5×0.398)×(1)^0.5+0.43

=3.262

或

k=5.25-5c/b₀

=5.25-5×0.398

=3.262

⑶根据美国钢铁协会设计规范（AISI，1986）中的B2.1部分，取最小值k=3.262计算受压边缘的苗条（板薄）系数

λ=(1.052/k^1/2)(b₀/t)(f/E)^1/2

=(1.052/3.262^1/2)×(31.93/1.818)

×(263.068/203×10³)^1/2

=0.368

因为

λ＜0.673

则

ρ=1

b_e=b₀=31.93mm

受压边缘全部有效。

⑷根据美国钢铁协会设计规范（AISI，1986）中的B3.2部分，计算边缘加强筋有效宽度

取

k=0.43

c₀/t=8.167/1.818

=4.492

保守取

f=σ_y=228MPa

苗条（薄板）系数为

λ=(1.052/k^1/2)(c₀/t)(f/E)^1/2

=(1.052/0.43^1/2)×(4.492)

×(228/203×10³)^1/2

=0.242

因为

λ＜0.673

且

I_s/I_a＞1

则取

I_s/I_a=1

所以

c_e=c₀=8.167

受压加强筋（唇缘）全部有效。

⑸检查腹板是否全部有效

用腹板截面面积计算带孔腹板的S_e。

结合全部要素来定位中性轴位置。假定腹板全部有效，顶部屈服强度为σ_ya：

①表中数据为计算出来的受压边缘有效长度。

y_cg=∑(Ly)/∑(L)

=301.36/29.691

=10.150cm（离顶部边缘的距离）

由于受压边缘到中性轴的距离等于托梁深度的一半，假定受压应力为σ_ya（也就是说，初始屈服是受压）。

■采用美国钢铁协会设计规范（AISI，1986）中的B2.3部分检查腹板要素的有效性.

因为

f₁=σ_ya(y_cg-t-R)/y_cg

=263.068×(101.50

-1.818-2.715)/101.50

=251.319MPa（受压）

f₂= -σ_ya(d-y_cg-t-R)/y_cg

=263.068×(203-101.50

-1.818-2.715)/70.88

= -251.319MPa（受拉）

ψ=f₂/f₁

= -251.319/251.319

= -1

k=4+2(1-ψ)³+2(1-ψ)

=4+2×(1+1)³+2×(1+1)

=24

用f₁取代f，并按照上面所述确定的k=24计算：

则

λ=(1.052/k^1/2)(a₀/t)(f₁/E)^1/2

=(1.052/24^1/2)×(193.93/1.818)

×(251.319/203×10³)^1/2

=0.806

因为

λ＞0.673

因此

a_e=ρa₀

ρ=(1-0.22/λ)/λ

=(1-0.22/0.806)/0.806

=0.902

a_e=ρa₀

=0.902×193.93

=174.937mm

a₂=a_e/2

=174.937/2

=87.468mm

a₁=a_e/(3-ψ)

=174.937/(3+1)

=43.734

a₁+a₂=43.734+87.468

=131.203mm

计算腹板受压部分的有效截面长度

a_ce=y_cg-(R+t)

=101.50-(2.715+1.818)

=96.967mm

因为

a₁+a₂＞y_cg-(R+t)

腹板要素全部有效，设计时也只能保守地取

a₁+a₂=y_cg-(R+t)

=96.967mm

中性轴距离顶部的距离

y_cg=∑(Ly)/∑L

=301.360/29.691

=10.150cm

I_x’=Ly²+I_l’-Ly_cg²

=4071.538+607.919

-29.691×10.150²

=1620.654cm³

转动慣量

I_x=I_x’t

=1620.654×0.1818

=294.635cm⁴

⒉计算有效截面模数

S_x=I_x/y_cg

=294.635/10.15

=29.028cm³

⒊计算最小名义弯矩

Mn=S_xσ_y

=29.028×263.068

=7636.355N-m

⒋计算允许弯矩M_a

M_a=Mn/Ω

=7636.355/1.67

=4572.67N-m

在加固托梁上的荷载显示如下（图11-8）。所有的荷载都是带系数的荷载。

图11-8

集中荷载计算如下：

集中荷载产生的弯矩（参见图11-9）：

M_P1=P_u1L1

=2704×1.219

=3295.637N-m

M_P2= P_u2L3

=2817×1.270

=3577.168N-m

M_P0=(M_P1+M_P2)/2

=(3295.637+3577.168)/2

=3436.402N-m

均布荷载（w₁=2218N/m）产生的弯矩（参见图11-9）：

M_w1max=w₁(L₁+L₂+L₃)²/8

=2218×(1.219+1.829+1.270)²/8

=5169.361N-m

M_w11=(w₁L₁/2)(L₂+L₃)

=(2218×1.219/2)×(1.829+1.270)

=4189.448N-m

M_w12=[w₁(L₁+L₂)/2]L₃

=[2218×(1.219+1.829)/2]×1.270

=4292.895N-m

均布荷载[w₂= -(w₁-w₃)=-(2218-1109)= -1109N-m]产生的弯矩（参见图11-9）：

R_w21= -w₂L₂[(L₂/2)+L₃]/(L₁+L₂+L₃)

= -1109×1.829×[(1.829/2)

+1.270]/(1.219+1.829+1.270)

= -1026.159N

R_w22= -w₂L₂[(L₂/2)+L₁]/(L₁+L₂+L₃)

= -1109×1.829×[(1.829/2)

+1.219]/(1.219+1.829+1.270)

= -1002.202N

M_w2max=R_w21[L₁+(L₂/2)]-w₂(L₂/2)(L₂/4)

= -1026.159×[1219+(1829/2)]

+1109×(1829/2)(1829/4)

= -1725.576N-m

M_w21=R_w21L1

= -1026.159×1.219

= -1250.888N-m

M_w22=R_w22L3

= -1002×1.270

= -1272.797N-m

图11-9

总弯矩（参见图11-9）：

M_max=M_P0+M_w1max+M_w2max

=3436.402+5169.361-1725.576

=6880.187N-m（最大）

M₁=M_P1+M_w11+M_w21

=3295.637+4189.448-1250.888

=6234.197N-m

M₂=M_P2+M_w12+M_w22

=3577.168+4292.895-1272.797

=6597.266N-m

所以最大弯矩是6880.187N-m。

根据ASISIWIN软件计算或从《低层轻钢骨架住宅设计——工程计算》一书的表6.3-2中查得203S41-1.73构件的M_a，即头部托梁乘系数的名义弯曲强度。

① Φ=0.95，

相当于

Ω=∑rL/ΦL

=[(1.2×0.479+1.6×1.915)]

/[0.95×(0.479+1.915)]

=1.52/0.95

=1.60

②M_a=Mn/Ω，

Ω=1.67，

相当于

Φ_b=∑rL/ΩL

=[(1.2×0.479+1.6×1.915)]

/[1.67×(0.479+1.915)]

=1.52/1.67

=0.91

③ S_xσ_y=29.014×263.068

=7632.765N-m

根据ASISIWIN软件计算或从《低层轻钢骨架住宅设计——工程计算》一书的表6.3-3中查得203T32-1.73构件的M_a，即头部托梁乘系数的名义弯曲强度。

①  Φ=0.95，

相当于

Ω=∑rL/ΦL

=[(1.2×0.479+1.6×1.915)]

/[0.95×(0.479+1.915)]

=1.52/0.95

=1.60

②  M_a=Mn/Ω，

Ω=1.67，

相当于

Φ_b=∑rL/ΩL

=[(1.2×0.479+1.6×1.915)]

/[1.67×(0.479+1.915)]

=1.52/1.67

=0.91

（一）采用查表法数据计算203T32-1.73和203S41-1.73构件弯矩能力

ΦMn₁=4989.543N-m (针对203T32-1.73，查表法)

ΦMn₂=7239.20N-m(针对203S41-1.73，查表法)

由于开口宽度是2438mm，《说明性方法》要求用二根托梁和一根导轨制作加固托梁

ΦMn_T=2×(7239.20)+4989.543

=19476.942N-m

M/ΦMn_T=6880.187/19476.943

=0.353＜1.0

通过

（二）采用AISIWIN计算机程序数据计算203T32-1.73和203S41-1.73构件所组成的顶部托梁乘系数的名义弯曲强度。

ΦMn₁=4746.719N-m(针对203T32-1.73，AISIWIN程序计算)

ΦMn₂=7229.222N-m(针对203S41-1.73，AISIWIN程序计算)

由于开口宽度是2438mm，《说明性方法》要求用二根托梁和一根导轨制作加固托梁。

ΦMn_T=2×(7229.222)+4746.719

=19205.163N-m

M/ΦMn_T=6880.187/19205.163

=0.358＜1.0

通过

注意：上面的计算假定的加固托梁尺寸和材料是一样的，并且因此有相似的刚度。在大多数住宅应用里，这种假定是有效的。然而，在加固托梁材料或尺寸不同的情况里，必须要进行刚度计算，并且应该把适当的荷载施加到每根加固托梁部件上。