《下学葊算书》之勾股三边恒等式之一(9)
《下学葊算书》之勾股三边恒等式之一(9)
上传书斋名：潇湘馆112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世强 Ho Sai Keung
提要：本文取自清‧项名达着《下学葊算书一》之勾股第六术，主要涉及直角三角形之三边恒等式证明法及几何图之表示法。
关键词：长阔较 弦较较 弦和和 弦较和
以下各题皆取材自《下学葊算书一‧勾股六术‧第六术》。本文主要涉及直角三角形之三边恒等式证明法及几何图之表示法。
下左图为一般之直角三角形图：
在以下各题中，x、y、z为直角三角形三边，股大于勾，如上图所示。
本文所涉及之三边恒等式并不深奥，以现代代数学证明则颇为简单，以图证反煞费周章，见以下各题。
注意勾股形各边经加减后保持正数。
﹝一﹞股弦较弦和和相乘，与勾乘弦较较等积，因以股弦较为长阔较，何也？
试证明股弦较弦和和相乘= 勾乘弦较较。
解：
已知弦和和= z + x + y 及股弦较= z – y 。
以下为弦和和之定义：
弦 = z，第一和字指勾股和，即股 + 勾 = y + x。第二和字指勾股和与弦之和，所以弦和和 = z + (y + x) = z + y + x 。
以下为弦较较之定义：
弦 = z，第一较字指勾股之差，即股 – 勾 = y – x，第二较字指勾股差与弦之差。所以弦较较 = z–(y – x) = z – y+ x 。
股弦较弦和和相乘 = (z – y)(z + y + x)
=x(z – y) + (z2 – y2)
= x(z – y) + x2
=x(z – y + x)
= 勾乘弦较较。
若视上式为一长方形，则以x 为阔，以 (z – y + x) 为长，故长阔较为
(z – y + x) – x = z – y，即股弦较。
若股弦较z – y = u------------------------------------------------------ (1)
弦和和x + y + z = v-----------------------------------------------------(2)
(1) × (2) 得(z – y)(x+ z + y) = x(z – y) + z2 – y2 = vu-------------- (3)
从 (3) 可得xu + z2 – y2 = vu，得：
x2 + xu – vu = 0﹝以勾股定理化简﹞。
依公式解x 得：
x =
﹝取正号，古时以“带纵较数开方法”﹞。
从 (2) 可得 z + y = v – x ，得：
z + y = v –
=
------------------(4)
因为z – y = u------------------------------------------------------------- (1)
从以上两式可知z =
[
+ u]
=
。
y =
[
– u]
=
。
本题之恒等式可以以下之几何图表示：
先作一直线 AD，在其上作B、C、M 三点，使 AB = x，BC = y， CD = z，CM = y，所以 MD = z – y，又作 DH 垂直 DA，而DH = MD =z – y。作 ADHE 长方形，在 HE上作 F、G、N 三点，使 EF = x，FG = GN = y。延长 AE 至K， BF 至 L，使 EK = FL = KL = x，显然，EKLF 是一正方形，亦即为勾方。
中文字乃原文之标示﹝见下图﹞。
从上图可知：
长方形 ADHE = DH × AD = (z – y)(x + z + y)
=x(z – y) + (z – y)(z + y)
= AEFB + BFHD。
因为AEFB = x(z – y)及 BFHD = (z – y)(z + y)。
长方形 ABLK = AB × AK = x(z – y + x) = x(z – y) + x2 = AEFB +EKLF。
因为 (z – y)(z + y) = z2 – y2 = x2，即 BFHD = EKLF。
左右加以 AEFB，即 BFHD + AEFB = EKLF + AEFB，
所以长方形 ADHE = 长方形 ABLK，
即 (z – y)(z + y + x) = x(z – y + x) 。
若已知 u 与v，要作以上之图，可先作出长方形 ADHE，算出 x﹝见前文﹞，取 AB为 x，可作出长方形 ABLK，在AD 中取 DM = u，平分MB 得 C，取 BC 为 y，再取 CD 为 z。
﹝二﹞勾弦较弦和和相乘，与股乘弦较和等积，因以勾弦较为长阔较，何也？
试证明勾弦较弦和和相乘= 股乘弦较和。
解：
已知弦和和= z + x + y 。勾弦较 = z – x 。
以下为弦较和之定义：
弦 = z，较指勾股较即股 – 勾 = y – x。第三和字指弦与勾股较之和，所以弦较和 = z+ (y – x) = z + y– x 。
股弦较弦和和相乘 = (z – x)(z + x + y)
=y(z – x) + (z2 – x2 )
= y(z – x) + y2
=y(z – x + y)
= 股乘弦较和。
若视上式为一长方形，则以y 为阔，以 (z – x + y) 为长，故长阔较为
(z – x + y) – y = z – x，即勾弦较。
若勾弦较 z – x = w----------------------------------------------------- (1)
弦和和 x + y + z = v-----------------------------------------------------(2)
(1) × (2) 得(z – x)(z + x + y) = y(z – x) + z2 – x2 = vw------------ (3)
从 (3) 可得yw + z2 – x2= vw
yw + y2 = vw
y2 + yw – vw = 0
y =
﹝以公式解，取正号﹞。
因为x + y + z = v
所以z + x = v – y= v –
。
又因为z – x = w
从以上两式可知z =
[ v–
+ w]
=
。
x =
[ v –
– w]
=
。
本题之恒等式可以以下之几何图表示：
先作一直线 AD，在其上作B、C、M 三点，使 AB = y，BC = x， CD = z，CM = x，所以 MD = z – x，又作 DH 垂直 DA，而DH = MD =z – x。作 ADHE 长方形，在 HE 上作 F、G、N 三点，使 EF = y，FG = GN = x。延长 AE 至K， BF 至 L，使 EK = FL = KL = y，显然，EKLF 是一正方形，亦即为股方﹝见下图﹞。
从上图可知：
长方形 ADHE = AD × DH = (z – x)(x + z + y) = AEFB + BFHD
=y(z – x) + (z – x)(z + x)
= AEFB + BFHD。
因为AEFB = y(z – x)及 BFHD = (z – x)(z + x)。
长方形 ABLK = AB × AK = y(z – x + y) = y(z – x) + y2 = AEFB +EKLF。
因为 (z – x)(z + x) = z2 – x2 = y2，即 BFHD = EKLF。
左右加以 AEFB，即 BFHD + AEFB = EKLF + AEFB，
所以长方形 ADHE = 长方形 ABLK，
即 (z – x)(z + y + x) = y(z – x + y) 。
若已知 w 与v，要作以上之图，可先作出长方形 ADHE，算出 y，取 AB为 y，可作出长方形 ABLK，在AD 中取 DM = w，平分MB 得 C，取 BC 为 x，再取 CD 为 z 即得。
﹝三﹞股弦较弦较和相乘，与勾乘弦和较等积，因以股弦较为长阔较，何也？
试证明股弦较弦较和相乘= 勾乘弦和较。
解：
已知股弦较= z – y 。
以下为弦较和与弦和较之定义：
弦 = z，较指股 – 勾 = y – x。所以弦较和 = z+ (y – x) = z + y – x 。
弦 = z，和指股 + 勾 = y + x。所以弦和较 = (y+ x) – z = y + x – z。
股弦较弦较和相乘 = (z – y)(z + y – x)
=– x(z – y) + (z2 – y2)
= – x(z – y) + x2
=x(y + x – z)
= 勾乘弦和较。
若视上式为一长方形，则以x 为长，以 (y + x – z) 为阔，故长阔较为
x – (y + x – z) = z – y，即股弦较。
若股弦较z – y = e----------------------------------------------------- (1)
弦较和y – x + z= f -----------------------------------------------------(2)
(1) × (2) 得(z – y)(z + y – x) = – x(z – y) + z2 – y2 = ef----------- (3)
从 (3) 可得 –xe + z2 – y2 = ef
x2 – xe – ef = 0﹝以勾股定理化简及移项﹞
依公式解得：
x =
﹝取正号﹞。
从 (2) 可得 z + y = f + x ，得：
z + y = f +
=
------------------(4)
z – y = e ----------------------------------------------------------------- (1)
从以上两式可知z =
[
+ e]
=
。
y =
[
– e]
=
。
本题之恒等式可以以下之几何图表示：
先作一直线 AD，在其上作B、C、M 三点，使 AB = x，BC = y – x， CD = z，AC = CM = y，所以 MD = z – y，又作 DH 垂直 DA，而DH = MD =z – y。作 ADHE 长方形，在 HE上作 F、G、N 三点，使 EF = x，FG = y – x，GN = y。延长 AE 至K， BF 至 L，使 AK = BL = KL = x，显然，AKLB 是一正方形，亦即为勾方﹝见下图﹞。
从下图可知BD = BC + CD = y – x + z 是为弦较和。
EK = AK – AE = x – (z – y) = x – z + y 是为弦和较。
从上图可知：
长方形 BDHF = BD × DH = (z – y)(z + y – x)
=–x(z – y) + (z – y)(z + y)
=–AEFB + AKLB
= EKLF。
因为AEFB = x(z – y)及 (z –y)(z + y) = z2 – y2= x2 = AKLB。
BDHF = BD × DH = EKLF = EK × LK，
但 EKLF = EK × LK = x(y+ x – z)，
及 BDHF = BD × DH = (z – y)(z + y – x)，
所以左方相等则右方亦相等，即 (z –y)(z + y – x) = x(y+ x – z) 。
若已知 z – y = e 与 y – x + z= f，要作以上之图，可先作出长方形 BDHF，算出 x，延长DB 至 A，取 AB为 x，可作出长方形 ABLK，在AD 中取 DM = e，平分MA 得 C，取 MC 为 y，再取 CD 为 z 即得。
﹝四﹞勾弦较弦较较相乘，与股乘弦和较等积，因以勾弦较为长阔较，何也？
试证明勾弦较弦较较相乘= 股乘弦和较。
解：
以下为弦较较之定义：
弦 = z，较指勾股较即股 – 勾 = y– x。第二较字指前两数之差，所以弦较较 = z – (y – x) = z – y+ x。
已知弦较较及勾弦较= z – x 。
以下为弦和较之定义：
弦 = z，和指股 + 勾 = y + x。所以弦和较 = (y+ x) – z = y + x– z。
勾弦较弦较较相乘 = (z – x)(z + x – y)
=– y(z – x) + (z2 – x2 )
= – y(z – x) + y2
=y[y – (z – x)]
=y(y + x – z)
= 股乘弦和较。
若视上式为一长方形，则以y 为长，以 (y + x – z)为阔，故长阔较为
y –(y + x – z)= z – x，即勾弦较。
若勾弦较 z – x = w---------------------------------------------------- (1)
弦较较 z + x– y = v ----------------------------------------------------(2)
(1) × (2) 得(z – x)(z + x – y) = – y(z – x) + z2 – x2 = vw --------- (3)
从 (3) 可得– yw + z2 – x2 = vw
– yw + y2= vw
y2 – yw – vw = 0
y =
﹝以公式解，取正号﹞。
因为x – y + z = v
所以z + x = v + y= v +
。
又因为z – x = w
从以上两式可知z =
[ v+
+ w]
=
。
x =
[ v +
– w]
=
。
以下为图解：先作一直线 AD，在其上作C、B、M 三点，使 AB = y，
AC = x，BC = y – x， CD = z，CM = x，所以 MD = z – x，又作 DH 垂直 DA，而 DH = MD =z – x。
作 ADHE 长方形，在 HE上作 G、F、N 三点，使 EG = x，EF = y，FG = y – x，GN = x。延长 AE 至K， BF 至 L，使 AK = BL = KL = y，显然，AKLB 是一正方形，亦即为股方﹝见下图﹞。
从图可知BD = AD – AB = x + z – y 是为弦较较。
EK = AK – AE = y – (z – x) = x – z + y 是为弦和较。
从上图可知：
长方形 BFHD = BD × DH = (z – x)(z + x – y)
=– y(z – x) + (z – x)(z+ x)
=–AEFB + AEHD
= BFHD。
因为AEFB = y(z – x)及 (z –x)(z + x) = AEHD
但 (z – x)(z + x) = z2 – x2 = y2= AKLB。
即 AEHD = AKLB。
或 EKLF = AKLB – AEFB = y2 – y(z – x)
又 EKLF = EK × LK = y(y+ x – z)，
所以 (z – y)(z + y – x) = x(y + x – z) 。
即 AEHD = AKLB。
AEHD –AEFB = AKLB – AEFB
得 BFHD = EKLF，
即(z – x)(z +x – y) = y(y + x – z)。
若已知 z – x = w 与z + x– y = v，要作以上之图，可先作出长方形 BFHD，算出 y 后，延长 DB 至 A，取 BA 为 y，可作出方形 ABLK﹝AK = y﹞，是为股方。在 AD 中取 DM = w，平分MA 得 C，取 MC = CA为 x，再取 CD 为 z 即得。
以下为《下学葊算书一‧勾股六术‧第六术》原文：