二元二次方程组的九种解法

江苏宜兴市大塍中学 吴耀华

解二元二次方程组是初中数学中的重要内容，它综合了解方程(组)的各类知识和方法．解二元二次方程组的关键是根据方程组的特征，灵活运用消元降次的要领．现举几例供同学们复习时参考．

一、代入法

由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组通常用代入法来解，这是基本的消元降次方法．

解：由②，得y=2x－1． ③

把③代入①，得15x2－23x+8=0．

二、因式分解法

在二元二次方程组中，至少有一个方程可以分解时，可采用因式分解法通过消元降次来解．

例2 解下列方程组：

解：(1)将第一个方程分解为(x－y)(x－2y)=0，则原方程组可化为两个新方程组：

以下略．

(2)将方程组的两个方程都因式分解后，原方程组可化为四个新方程组来解：

以下略．

三、配方法

解．

解：①±②×2，分别得x＋y=±9，x－y=±11．

于是原方程组可化为四个新方程组：

以下略．

四、韦达定理法

解：由①+②×2，得(x＋y)2=49．x+y=±7． ③

由②和③，根据一元二次方程根与系数关系，可得m2±7m+12=0．

解这两个方程，得m1=3，m2=4，m3=－3，m4=－4．

五、消常数项法

当方程组的两个方程都缺一次项时，可用消去常数项的方法解．

解：①－②×2，得x2－2xy+y2=0，即(x－y)2=0．

以下略．

六、两式相除法

分析：因为方程组中的②的左边不等于零，并且能整除第一个方程的左边，故两式相除，既不失根，又可达到降次的目的．

解：显然x+y=2≠0．

①÷②，得x－y=8．

七、加减法

如果方程组里两个方程有一个未知数的同次项的系数成比例，可将这个未知数的系数化为绝对值相等，再用加或减消去这个未知数，从而得到另一个未知数的一元二次方程再解．

解：①×2－②，得3y2－8y＋1=0．解出y值后，求原方程组的解便水到渠成．

以下略．

八、换元法

检验略．

九、用根的判别式法

这时方程组的解．

解：将y=2x+m代入y2=4x整理，得4x2+4(m－1)x+m2=0．方程组仅有一个实数解，说明x的二次方程有两个相等的实数解，故有Δ=0，