直线与线段相交的问题

今天在上课时,遇到这样一道题:

这是一道常见的问题,定点直线与线段相交问题,解决这个问题,我们先来研究四种情况:

(1)、锐角到锐角的变化

如图,很容易发现,过P点的直线在与线段AB相交时,倾斜角的变化是从锐角到锐角的变化,借助于正切三角函数的图像,我们容易知道斜率的变化是从PA的斜率到PB的斜率。(也就是从小的正数到大的负数,至于开区间还是闭区间取决于动直线是否经过线段的端点。)

(2)、钝角到钝角的变化

如图,很容易发现,过P点的直线在与线段AB相交时,倾斜角的变化是从钝角到钝角的变化,借助于正切三角函数的图像,我们容易知道斜率的变化是从PA的斜率到PB的斜率。(也就是从小的负数到大的负数,至于开区间还是闭区间取决于动直线是否经过线段的端点。)

(3)、钝角到零角,到锐角的变化

如图,很容易发现,过P点的直线在与线段AB相交时,倾斜角的变化是从钝角到零角,到锐角的变化,借助于正切三角函数的图像,我们容易知道当直线的倾斜角从直线PA的倾斜角到水平时,斜率的变化是从PA的斜率无限接近于零,当直线的倾斜角从水平位置到直线PB的位置变化时,斜率的变化是从零到PB的斜率,取并集。(也就是从小的负数到大的正数,至于开区间还是闭区间取决于动直线是否经过线段的端点。)

(4)、锐角到直角,到钝角的变化

如图,很容易发现,过P点的直线在与线段AB相交时,倾斜角的变化是从锐角到直角,到钝角的变化,借助于正切三角函数的图像,我们容易知道当直线的倾斜角从直线PA的倾斜角到垂直状态时,斜率的变化是从PA的斜率到正无穷大,,当直线的倾斜角从垂直位置到直线PB的位置变化时,斜率的变化是从负无穷大到PB的斜率,取并集。(也就是从负无穷大到小的负数,并上大的正数,到正无穷大,至于开区间还是闭区间取决于动直线是否经过线段的端点。)

看似复杂,然而我们在此分类,就会发现(1)、(2)、(3)可以归为一类,斜率取值范围在小数,大数之间。(4)单独归为一类,在小数大数两边。而细看它们的区别就是第(4)类的直线在变化时经过了垂直状态,也就是斜率不存在的情况,而其他三种条件直线在移动时斜率恒存在。

据此,我们可以得出一下结论:

这两种方法,在解决此类问题时各有优劣,第一种方法,利用数形结合的方法,判断出斜率范围在两个极端值之间还是两边;第二种方法,利用点与直线的关系,利用解一元二次方程的方法求解。望各位同学认真体会。

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