科学大唠嗑之时空（2）如何计算四维空间里两个事件之间的距离
科学大唠嗑
张 喆
天津市天文学会会员
天津科技馆科普辅导员
读书会共读老师
接着上一期的话题，咱们还是从数学问题开始，在数学中，一个数的平方，永远是一个正数，比如10的平方是正100，负10的平方还是正100。
我们进行平方的逆运算，就是平方根运算的时候，自然就会认为，只有正数才有平方根，负数是没有平方根的。
但数学家们在进行计算的时候，其实经常会碰到负数的平方根。
比如说，16世纪的意大利数学家卡尔达诺提出一个问题，有没有可能找出两个数字，让它们加起来等于10，乘积等于40呢？这个问题如果放在实数范围内来看，答案是不存在的。
但如果允许负数的平方根存在的话，那我们就可以找出一个答案，只不过这个答案中会包含根号-15这个奇怪的数字。数学家给负数的平方根起了个名字，跟实数相对应，叫虚数，还规定，根号-1叫i，这样的话，根号-20就是20i，根号-15就是15i。
但虚数这个东西，实在是看不出它有什么意义，所以即使它在数学计算里大量出现，数学家们一开始还是不承认它的名分。
比如在德国著名数学家莱昂纳德·欧拉1770年出版的一本谈论代数的书中，我们可以找到虚数的大量应用，但是它们却伴随着这样的评论：所有类似于根号-1和根号-2的表达式都是不可能存在的或虚拟的数，因为它们代表了负数的平方根。对于这样的数，我们可以真实地宣称，它们既不是虚无，也没有超越虚无，更不会低于虚无，这必然构成了它们的虚幻或不可能。
不过话虽这么说，欧拉该用虚数的时候还是用，因为实在没办法，不用的话，很多计算根本无法进行。
欧拉（1707年4月15日-1783年9月18日）
虚数这种在数学领域里的尴尬地位持续了整整有两个多世纪，最后还是两个业余数学家给了它一个名分。
这俩人一个是测绘员韦塞尔，一个是会计师员罗伯特·阿尔冈，他俩从几何的角度，给虚数做了这样一个解释：我们平常说的“数轴”，就是画一条横线，然后标上一个点作为零点，左边是负数，右边是正数。
那在数轴能不能找到虚数呢？这两位说，在这条横线上，肯定是找不到的，我们应该在零点处画一条跟横轴垂直的纵轴，也标上1、2、3、4……只不过这条线是代表虚数，所以其实是1i、2i、3i……这样一来，两条线组成一个坐标系，所有的数字，就都能在这个坐标系里找到了。比如15i，也就是根号-15，就在坐标轴里的纵轴上，如果是20+根号-15，那就在横轴上找到20，纵轴上找到15i，通过这两个点画两条分别与坐标轴垂直线，这两条线的交点就是在坐标系里的这个数字。
虚数就先说到这，那问题是这个虚数到底有没有用呢？其实，虚数还真有用，而且有大用处。
我们可以用虚数，来把时间和空间结合起来，构建出一套四维空间的几何学。而这套几何学会让我们发现，时间和空间并不是绝对独立的，也不是恒定不变的。这个说法是不是很熟悉，对，没错，这个观点就是爱因斯坦相对论的雏形。
我们生活的世界，在空间上是一个三维世界，意思就是说，我们可以在空间里移动的方向可以是向前、向后、向左、向右、向上、向下。三个相互垂直的独立方向是我们所生活的物理空间最基本的性质之一。确定任何一个位置，无论你采用什么方法，都至少需要三个维度的数据才能确定，比如在地球上的任意一点就可以通过经度、纬度和高度来确定。
但是，如果我们要确定某件事情的具体状况，那光有空间还不够，还得加上另一个维度，就是时间。
比方说，在2021年1月28日10点，天津市和平区有一棵树被大风吹倒了，这才能准确地说出一个具体的事件。
所以，我们需要四个维度，才能准确地确定某件事的时空位置。也就是说，我们生活在一个四维的时空世界中。
电影《星际穿越》反映了四维时空概念
但如果要把时间看成是第四维度，就必须要面对一个问题，就是怎么才能把时间和空间联系到一起进行计算呢？再具体一点说，我们怎么才能测量一个四维时空里两个事件之间的距离呢？
如果要测量长宽高，那我们可以用统一的长度单位，比如多少厘米、多少米。但如果要测量时间的话，就只能用小时、分钟、年月日这些计量单位。那1米跟1小时，该怎么结合在一起进行计算呢？
乍看起来，这个问题就跟我家的电饭煲和你家的汽车那个更好一样，毫无意义，但其实也有办法解决。
举个例子。如果你出门问路，要去地铁站还有多远啊？那人家可能会跟你说，地铁站有点远，走路要半个小时，你不如骑个共享单车，5分钟多钟就到了。这就是一个典型的，用时间来表示距离的办法。
在这里只要速度是不变的，就可以把时间转换成空间。那怎么找到这个确定的速度呢？没错，就是光速。
科学家已经发现，光在真空中的传播速度是恒定的，不受任何情况的影响，这个结果已经经过了很多实验的验证。如果我们把光速和时间结合到一起，就可以得到一个距离单位，比如光年就代表光在一年时间内经过的距离。
如果我们要计算5分钟相当于多远，那就用5分钟乘以光速，就能得到一个距离。同样，太阳发出的光到达地球需要8分钟，我们就可以说太阳到地球的距离是8光分，换算成距离大约就是1.5亿千米。
现在万事俱备，我们看看科学家是如何确定四维时空里，两个事件的距离的。其实，测量两个事件在空间上的距离很简单，而时间上的距离刚才也说了，我们可以测出两个事件之间的时间间隔，然后乘以光速，就能得到一个距离。
关键在于，时间和空间要怎么放在一起，毕竟还是不一样的两种东西。不能把这两个结果简单地加在一起，那样是没有意义的。这两个距离必须要有所区分，显示出不同才行。
那怎么区分呢？科学家想了个办法：建立一个坐标系，把空间距离当做横轴，时间距离当成纵轴，这样一来，四维时间里的距离，就既有空间意义，也有时间意义，两者就能够完美地结合到一起了。
一提到这个坐标轴，你应该想起了刚才说到的虚数了吧？没错，在这种计算中，虚数发挥了相当重要的作用。因为在这个计算中虚数的坐标轴就代表了时间距离。在四维空间的计算中，时间距离前面，是要乘以i的，也就是乘以根号负1，以显示出时间和空间在本质上的不同。
利用虚数将时间和空间结合在一起，组成坐标系之后，科学家发现了一个非常奇异的现象：我们平常所说的两个事件之间的时间距离和空间距离，其实可以看作是四维距离在时间和空间这两根坐标轴上的投影。这么一来，一旦旋转这个四维坐标系，就可以让时间和距离相互转化。
从这一点出发，我们会进一步发现，时间和空间都不是恒定不变的，而是跟物体的运动状态有关。一个静止的人，和一个高速运动的人，时间在他们身上流逝的速度是不同的。这就相当于运动旋转了时空坐标系，因此改变了四维距离在时空坐标轴上的投影。
是不是又很熟悉了？对，这就是狭义相对论。
也就是说，数学家们曾经以为没用的虚数，在相对论的计算中就派上了一个大用场。人们恍然间发现，原来看似毫无意义的虚数之下，居然隐藏着如此重要的意义。
总结一下，虚数到底有没有用？虚数其实就是负数的平方根，虽然它总在数学计算中出现，但数学家们一开始认为，虚数只是存在于想象中的数，既不存在，也没有意义。
但之后人们发现，如果我们要建立一套四维时空中的几何学，想要把时间和空间结合起来就必须用到虚数。这么一来，看似没有意义的虚数，就巧妙地在四维时空的计算中发挥了重要的作用，并因此在相对论中大显神通。
除了我们刚刚说的数字游戏以外，对形状和空间进行研究的几何，也是数学中非常重要的组成部分。所以看完了无穷大和虚数这两个代数上的概念后，下一期还要给你讲一个几何问题，并且和宇宙的形状联系起来，来看看弯曲的三维空间是怎么回事。
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“科学大唠嗑”是悦读读书会新增添的一个栏目，每周更新一次，作者是书友们所熟悉的“牧羊人”张喆老师。他曾组织过我们读书会开展天文线下活动，也是《时间简史》、《上帝掷骰子吗？》的领读者。对于天文爱好者，此栏目是一个相当大的福利。对天文还未有过了解的书友们，这也是一次增长天文知识的机会。期待张老师下一次更新！