在数学学习中,应该从知识的积累上升到处理问题的一般方法,挖掘背后蕴含的丰富的思想,形成看问题的基本观点,并把这些观点化着一些经典的名言。比如:宏观看结构、微观抓关键;严格按照定义(从本质看现象);学数学就是找关系,没有关系,强行“发生”关系……
美国从 20 世纪 50 年代经历了“新数运动”、“回归基础”、“问题解决”和“标准运动”,其中新数运动要求突出知识的结构,在问题解决的过程也需要。拥有什么样的观点,就会决定看问题的方式和对问题的理解,从而决定所选择的方法。在教学实践中,我们发现学生解不出来题,不是因为我们不具备相应的知识、思想和方法,而是不具备一些看问题的观点,从而不能实现一些隐含知识的解读或相应问题的处理方式。下面我们来剖析解题思维过程:【反思 2】比较两种方法,明显地感觉得形成一些好的观点,大大提高了解题效益,每一次解题都是对观点的强化,从而通过练相对较少的题达到更好的效果。【思考】这样的理解需要在概念的形成过程中,用不同的语言(自然语言、图形语言和符号语言)来描述,并借助相应的题目去感悟。(二)对解决基本问题过程中核心思想方法的提炼,形成看问题的模式从例 1 来看,比如点在曲线上就是方程,垂径定理所构成的直角三角形是解决直线和圆相交问题的关键,这些又常常是解决一些基本问题之后提炼出来的理念,即看问题的模式。(二)对解决基本问题过程中核心思想方法的提炼,形成看问题的模式从例 1 来看,比如点在曲线上就是方程,垂径定理所构成的直角三角形是解决直线和圆相交问题的关键,这些又常常是解决一些基本问题之后提炼出来的理念,即看问题的模式。例 4.(人教 A 版第 73 页例 8)下图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米.水位下降 1 米后,水面宽______米.【分析】:建立直角坐标系,利用点在曲线上求出抛物线方程,关键是把题目中的长度、距离转化为点的坐标。在处理具体的问题中总结出方法,并挖掘背后蕴含的丰富的思想,形成看问题的基本观点,观点越深刻,问题越透彻,方能深入浅出。哲学,是理论化、系统化的世界观,是自然知识、社会知识、思维知识的概括和总结,是世界观和方法论的统一。世界观是人们对整体世界的总体看法和基本观点,方法论是人们认识事物、改造世界的根本方法。所以数学讲到极致,一定是在讲哲学,教学的艺术在于把深刻的哲学观点,通过具体的教学实例,结合生活,生动形象的讲出。那我们在教学中要不断去挖掘数学内部深刻的思想,上升高哲学层面,形成一些观点,再结合生活,显得亲切自然,从题目到哲学,到生活,再到题目的循环,能想透很多东西。上述四个问题都可以通过“换元法”转化为二次函数来处理,做完之后,我们就要进一步分析这些题型的共同特征是什么——都是最高次项是另外一项次数的两倍,进一步去挖掘“换元法”背后更为深刻的思想——整体的思想。“换元法”应用的广泛性凸显了“整体思想”的重要性,为什么整体的思想这么重要呢?上升到哲学的高度,因为整体的思想凸显了事物的结构,从宏观去把握事物的结构,这是高水平的体现,与只在局部小打小闹有着质的区别。这里面有心理学关于国际象棋的著名实验作为证,给象棋大师和新手看实际比赛的棋局各 5 秒钟,然后打乱棋子的位置,让他们重新恢复棋局,结果发现大师恢复棋子的数量是 20——25 个,而新手平均只有 6 个,那大师是怎么思考的呢?于是又让大师和新手看随机排列的棋局,此时恢复的棋子的数量没有差别,都是平均 6 个。我们可以得出这样的结论:当棋局随机排列时,大师和新手都把每个棋子当着一个组块,因此恢复出来的数量没有差别,当使用实际比赛棋局的时候,大师的组块包含了更多的棋子。或者我们这样的理解:大师从宏观去把握结构,一块一块的看,而新手是一颗一颗的看,从整体去把握事物的结构,这是水平的体现。下联生活,比如迎面走来一个美女,我们不经意会说:身材真好,眼睛真大,这里面其实就蕴含着看问题的基本观点——宏观看结构,微观抓关键,让学生在笑声中感受到“这么深刻的道理,它原来这么朴素,这么自然,这么贴近生活,我们一不小心,就已经用了,那么我们更应该在数学中反复去体会这些思想.”
(二)用一种观点去看所有事物
毕达哥拉斯学派认为:一些现象在性质上完全不同,但表现出相同的数学性质,这给它们以深刻印象,于是他们认为数学性质必定是这些现象的本质所在。更具体地说,毕达哥拉斯学派从数和数的关系上找到了这一本质,数是他们解释自然的第一原则。所有物体都由点或“存在单元”按照相应的各种几何形象组合而成。由于他们把数看做既是点又是物质的元粒,所以他们认为数是宇宙的实质和形式,是一切现象的根源。因此毕达哥拉斯学派的信条是“万物皆数也”。第 5 世纪一个著名的毕达哥拉斯学派菲洛劳斯说:“如果没有数和数的性质,世界上任何事物本身和其与别的事物的关系都不能为人所清楚了解……你不仅可以在鬼神的事务上,而且在人间的一切行动和思想上乃至一切行业和音乐上看到数的力量。”弹弦所发出的音乐取决于弦的长度,绷得一样紧的弦若长度成整数比,就会发出谐音,基于这两个事实毕达哥拉斯学派把音乐归结为数与数之间的简单关系,还搞出了一个著名的希腊音阶。毕达哥拉斯学派注重算术(数论)并不在于该学科的纯美学价值,而是为了要用数来探究自然现象的意义,这就使得他们重视一些特殊的比例,重视三角形数、正方形数、五角形数和其他能排成更复杂形体的数。
比如:学数学就是找关系,没有关系,强行“发生”关系。
笛卡尔是通过三条途径来研究数学的:作为哲学家,作为自然的研究者,作为一个关系科学用途的人,试图把这三条思路分离开来是困难的,而且也许是不实际的……菲利克斯·克莱因是 19 世纪末 20 世纪初世界最有影响力的数学学派——哥根廷学派的创始人,不仅使伟大的数学家,也是现代国际数学教育的奠基人、杰出的数学史家和数学教育家,他认为函数为数学的灵魂。应该成为中学数学的“基石”,应该把算术、代数和几何方面的内容,通过几何的形式以函数为中心的观念综合起来;强调要用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容,主张加强函数和微积分的教学,改革和充实代数内容,倡导“高观点下初等数学”意识。在克莱因看来,一个数学老师的职责是:“应使学生了解数学并不是孤立的各部门学问,而是一个有机的整体”,基础数学的老师应该站在更高的视角(高等数学)来审视,理解初等数学问题,只有观点高,事物才能显得明了和简单;一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过。他认为有关的每一个分支,原则上应看做数学整体的代表,有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能深刻地理解。莫里斯·克莱因的《古今数学思想》不仅仅论述了从古代一直到 20 世纪头几十年的重大数学创造和发展,目的时介绍中心思想,特别着重于那些在数学历史的主要时期中逐渐冒出来并成为最突出的、并且对于促进和形成尔后的数学活动有影响的主流工作,还极度关心:对数学本身的看法,不同时期中这种看法的改变,以及数学家对于他们自己成就的理解。菲利克斯·克莱因的《高观点下的初等数学》和莫里斯·克莱因的《古今数学思想》极大地提升数学理解的境界。吴国盛的《科学的历程》告诉我们,当我们学习物理时,常常为那些与常识格格不入的观念而烦恼,这时候,如果去了解一下物理学观念逐步建立的历史,接受它们就容易多了,科学家们并不是一开始就这样“古怪”地思考问题,他们建立“古怪的”科学概念的过程极好理解且引人入胜。并举例说明读“运动问题”的科学故事,回顾这个观念如何更替的过程中,我们自己的观念也不知不觉地发生了改变,这当然比直接从概念、定律和公式出发去学习牛顿力学要生动有趣得多,而且印象深刻得多。了解科学史有助于理科教学,有助于理解科学的批判性和统一性,有助于理解科学的社会角色和人文意义。华罗庚的《聪明在于勤奋,天才在于积累》,张景中院士为中学生著的《院士数学讲座专辑》,李大潜院士主编的《数学文化小丛书》通俗易懂,激发学生学习的兴趣,提升学科素养。------------------------------------
