高考和竞赛对“ 正方体截面面积”的考察

1.（2018 全国1 卷理科第12 题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α 所成的角都相等，则α 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）

解析】注意到正方体12 条棱分为三组平行的棱，则只需与共顶点的三条棱所成角相等即可，注意到正方体的结构，则平面应为图1 中所示，所以只需由图中平面ABC平移即可。

变式1：（1994 全国联赛填空题第5 题）已知一平面与一正方体的12 条棱的夹角都等于α，则sinα=___.

【解析】：过A 作MN 的垂线，垂足为T ，

第一步：寻找T 的轨迹：T 的轨迹是平面ABCD内，以A 为圆心， 2 为半径的圆:

第二步：求最值

变式 6：棱长为 2 的正方体 ABCD- A₁B₁C₁D₁ 中，E为棱 AD的中点，过 B₁点，且与平面A₁BE平行的正方体截面的面积为（ ）

【点评】在运动变化中，空间想象能力得到了很好的考查。

解析：由已知，要有DM⊥BN ，如图 1，只需考虑 DM在平面内 BCC₁B₁的射影CM₁⊥BN ，

节选自《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》

参考《立体几何的微观深入和宏观把握》