拉格朗日中值定理与区间测速

今天给大家讲一讲区间测速和拉格朗日中值定理的关系，希望对理解这个定理存在困扰的同学有所帮助。

假设汽车在

时刻到达区间测速起点位置，记为

，

时刻到达区间终点位置，记为

，我们作图如下：

容易算出汽车的平均速度为：

一般情况下，汽车在行驶过程中速度是变化的，如果我们算出来的平均速度为60km/h ，那么汽车在行驶过程中的瞬时速度必然有：大于、等于、小于60km/h 的情况。如下面动态图所示（蓝色为大于，灰色为等于，绿色为小于）：

对于这个结果，拉格朗日（法国天才数学家）给我们做了完美的数学呈现，拉格朗日中值定理结论正好对应的是：瞬时速度恰好等于平均速度的时刻，而这样的时刻至少是存在一个的。

一起来欣赏一下拉格朗日中值定理：

设函数

满足以下两个条件：

（1） 在闭区间

上连续

（2） 在开区间

上可导，

则至少存在一点

，使得

该定理的几何意义见下图：

而这个定理物理意义就是，至少存在某一时刻的瞬时速度与平均速度相等。

若在拉格朗日中值定理基础之上再加一个条件，就得到罗尔中值定理了。

罗尔中值定理：

设函数

满足以下三个条件：

• （1）

  

  在闭区间

  

  上连续

• （2）

  

  在开区间

  

  上可导

• （3）

  

• 则至少存在一点

  

  ，使得

  

把两者放在一起比较，可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况：

拉格朗日中值定理是微分学中很多重要定理和方法的理论基础，在高等数学中占有重要的地位，北京的一座文化天桥上就选取了这个公式作为数学桥的标志，可见其在数学界举足轻重，犹如北斗之尊。

在专升本考试中，微分中值定理的地位也是尤为重要，每每出现在每年的压轴题上，下面来点考试干货。

今天的每日一题，动动手指做起来：

参

考

答

案

。

。

。

后记：利用中值定理做证明题，找准思路和设辅助函数是关键，若想熟练掌握，多练多总结，许多题型都有规律可循，任重但是道并不远！