数学建模视频课程第3辑：数学建模提升
第 27 讲：连续与离散：图片去雾霾(1)
——直方图的线性均衡化
内容要点：
连续与离散、几何与代数、统计与因果，是贯穿于终身数学学习和数学发展全过程的三对核心矛盾。 矛盾并不意味着对抗，矛盾意味着选择：数学建模的能力，就是应用数学解决（理论或现实的）问题的能力，就是面对问题选择相应策略的能力。 将所要观察或研究的对象用适切的数学对象承载，并通过适切的数学工具提取其数字特征，是解决问题的关键。 本讲中的方法是通过构造连续函数对离散对象的变换解决问题。但需注意，用连续工具解决离散问题通常会引入新的参数，这个参数可以看作是为了跨越“连续”和“离散”所架设的桥梁。
学习目标：
能利用灰度数表与灰度直方图表示图片的信息与特征。 能区分带雾霾图片与不带雾霾图片的灰度直方图的区别。 理解“忽略阈值”定义的必要性，并选取适当的取值。 能计算直方图线性均衡化所用的一次函数的参数。
基于高中课内内容：
统计与概率初步
视频链接：
第 28 讲：连续与离散：图片去雾霾(2)
——直方图的概率均衡化
内容要点：
对于离散随机变量的观察，分布列要比直方图更加精细，但是直方图更为直观。分布列中包含的随机变量的统计信息没有损失。 将频率当作概率，实际上是假设未来数据一定遵循之前的统计规律。对于图片这种有限规模的离散对象，频率作为概率没有逻辑损失。 用连续方法解决离散问题，可以是像上一讲中一样用连续变换作用在离散对象上；也可以像这一讲中一样用离散方法作用在离散对象上，而用离散的连续化情形来给出理论支撑。后者不需要引入参数，但是给出的理论支撑会带有近似性。 没有哪种方法是绝对优秀没有任何瑕疵的，针对所需要的目标选择或设计适切的方法，反映出数学建模能力乃至对数学的理解深度。
学习目标：
能理解基于概率的直方图均衡化的原理及其证明。 能够计算基于概率的直方图均衡化的具体变换。 能够指出直方图的“线性均衡化”和“概率均衡化”两种方法的区别。
基于高中课内内容：
离散随机变量分布列及其数字特征 导数 定积分初步
视频链接：
第 29 讲：连续与离散
估算北京五环面积——皮克定理及其应用
内容要点：
用数学建模解决问题的目的是为了找到“多、快、好、省”的通法，所以当有了初步解决方案后，应该思考如何简化和改进。 时刻关注所研究的对象信息的转移和特征提取：有时需要转移信息，将信息用一种描述方式等价变为另一种描述方式；有时需要提取特征，提取特征就会丧失一部分信息细节。对于特征的提取需要小心，过分的提取特征会导致无法解决问题，火候是关键。 皮克定理给出了连续度量与离散度量之间的深刻关联，这个结论只对二维成立，无法推广到三维。这个定理隐藏了二维空间的本质属性，所以它和欧拉亏格公式的二维形式等价。 研究问题应遵循从简入繁、从特殊到一般、从归纳到证明的过程。
学习目标：
能指出比例尺和网格疏密对“查网格方法”估计面积的影响。 能通过不完全归纳构建皮克定理的公式并用例子验证。 理解皮克定理的归纳证明思路，最好能掌握其证明。
基于高中课内内容：
数学归纳法 三元一次方程组
视频链接：
第 30 讲：几何与代数
数列递推的可视化分析
内容要点：
当遇到的代数问题是某些规则的迭代，往往会遇到迭代之后计算复杂度爆炸，进而难于分析。这种情况下可以借助图上推演的办法，将代数结果看作是某种几何过程中的离散采样。这样就能够借助几何图形挖掘出代数推导很难挖掘出来的规律。 与微分动力系统类似，二次递推数列也会产生稳定平衡点、不稳定平衡点、以及极限环等结构。这些结构借助图上推演很容易观察。 进制也是代数和几何之间的桥梁之一，利用进制变换可以将一个数列转化为一个小数，从而将数列的代数递推关系变为进制变换函数的图像反映到平面直角坐标系中。部分时候会产生分形，对应着伪随机过程，可以作为某些随机数生成器的设计原理。
学习目标：
能通过图上演化法分析任意给定的二次递推数列的收敛性。 能通过图上演化法区分递推数列中的稳定平衡点、不稳定平衡点与极限环。 了解递推数列中可能包含的随机性。
基于高中课内内容：
递推数列 二次函数 解析几何 二进制（初中内容）
视频链接：
第 31 讲：几何与代数
几何平均与意见调和
内容要点：
算数平均数和几何平均数是两个重要的“平均”概念，它们都有直观的几何解释，它们之间由完全平方联系。二者大小的比较由均值不等式给出，使用均值不等式时须注意使用前提及等号成立条件。 算数平均数适用于离散均匀分布的情形求平均；几何平均数适合用于偏置分布（即分布列中概率比重偏向一侧）的情形求平均。 利用几何平均，可以完成对于不同意见的保序调和。调和后的结果尊重所有人的观点并能得到一致化意见。得到的重要性比重可以用来指导资源分配、标定任务优先级等。
学习目标：
能说出几何平均数与算术平均数的代数和几何定义。 能通过代数和几何方法给出代数平均数与几何平均数的关联并证明均值不等式。 理解何时使用几何平均数估计总体平均水平更为准确。 能用几何平均数实现对非一致数表的一致化，并应用于意见调和。
基于高中课内内容：
不等式 立体几何（包括空间向量）
视频链接：
第 32 讲：几何与代数
几何不变量与纽结理论（1）
内容要点：
无论是解决现有的问题，还是开拓数学的疆域，都需要针对问题中暴露出来的本质难点深入分析、穷追不舍、把握自然现象和数学本质之间的深刻关联，将大自然的无穷智慧通过人的创造注入到问题的解决中来。 不变量是研究几何对象的重要方法，利用不变量能快速区分几何对象。建立不变量的过程有时需要考虑定向，定向的本质是将静态的几何对象看成是动态演变的结果。 不变量的定义需要建立在基本变换的基础上，基本变换下保持不变的性质被称为不变量。基本变换的选取要基本化、单位化，并且尽量保证结合律，但是不一定要保证交换律。
学习目标：
理解投影图及基本变换的定义来源，并能准确描述其定义。 掌握拧数及环绕数的计算。 能证明环绕数为几何不变量（在R1、R2和R3变换下保持不变）。
基于高中课内内容：无，只需要会加减法即可掌握所有内容
视频链接：
第 33 讲：几何与代数
几何不变量与纽结理论（2）
内容要点：
琼斯多项式是一个强有力的几何不变量，可以将纽结的特征提取为一个性质丰富的多项式，且计算初等、过程直观。 构造琼斯多项式时需要借助“拧数”，但是拧数并非是几何不变量，所以那些满足某些基本变换的非不变量也是重要的素材，所以处理问题的实践经验很重要，基于创造的实践经验的结合更加重要。 琼斯多项式的构造过程中加入了两个待定参数，这其实是一种非常巧妙的方法。利用这些待定参数，可以将对基础变换的保持变为关于参数的方程组。将一切归结为方程，这是解决问题的很好借鉴。 琼斯多项式大约是纯粹数学领域用初等方法创建的最深刻的数学模型，对这个模型的灵活应用，将有助于多个领域的发展。
学习目标：
能计算左右手三叶结的琼斯多项式。 了解纽结理论在物理及信息科学中的发展前景。
基于高中课内内容：
多项式运算（初中内容）
视频链接：
第 34 讲：统计与因果
精神疾病问题与统计陷阱（1）
内容要点：
原因的原因不一定是原因，结果的结果不一定是结果；原因不一定在结果之前，结果也不一定在原因之后。 在样本量很小的时候，用频率估计概率，相当于做了两条基本假设：（1）后面的数据完全复制前面的样本数据（2）指定了复制的衔接点处的粘贴法则：首尾粘贴。 矩阵的乘法运算，本质上就是概率的分类加法原理和分步乘法原理的复合运算形式。利用矩阵运算可以方便地研究状态转移概率，相隔日期的叠加反映在矩阵运算上就是状态转移概率数表的叠乘。
学习目标：
理解并能举例说明“原因的原因不一定是原因，结果的结果不一定是结果；原因不一定在结果之前，结果也不一定在原因之后”。 理解方法1的局限性以及造成其局限性的原因。 能计算出状态转移概率数表，并说明为何每一行之和为1。 能推导出矩阵的乘法运算定义，并理解其背后的概率加法与乘法原理。
基于高中课内内容：
概率统计初步
视频链接：
第 35 讲：统计与因果
精神疾病问题与统计陷阱（2）
内容要点：
统计关联不等于因果关系。不同的统计方法实际上是做了不同的基本假设，所以即使是面对相同的数据，采用不同的统计方法，也可能产生决策结果截然相反的情况。 在样本量很小的时候，用频率估计概率是一个不明智的选择，因为这样不仅假设了未来的规律是复现从前的规律，而且还假设了衔接点处的行为，而后者是不合理的。 利用状态递推研究稳定极限是研究状态转移规律的一种有效方法，其缺陷是有效数据会呈倍数减少，减少的倍数即为状态的数量。 只有利用大数据，才能消除不同统计方法的偏差。这是大数据的3V特征——数量大、多样性、即时性——的综合效果。
学习目标：
能证明极限概率的存在性。 能计算极限概率的具体值。 理解“采用不同统计方法可能得到不同结果”的原因。 了解大数据对避免“统计陷阱”的作用。
基于高中课内内容：
概率统计 数列递推 等比数列
视频链接：
第 36 讲：第三辑梳理与总结
视频链接：
作者说明
本系列视频是《数学建模视频课程》，配套国家课程标准，只需高中课内知识水平即可掌握，适合全国高中生及低年级本科生学习。
本视频课程共企划为 4 个专辑，在开发期间陆续通过 B 站公开发布。
本课程配套教材《面向建模的数学》将于 2020 年 7 月份前后由清华大学出版社出版，该书由林群院士作序，张平文院士和国家课标组长王尚志教授作推荐词。
欢迎各位朋友关注和交流。
赞 (0)