画出来的切线有误差；代数法求点的斜率；微分基本公式推导
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牛顿332、画出来的切线有误差；代数法求点的斜率；微分基本公式推导
微分（百度百科）：
…微、分、微分：见《牛顿321~330》…
…
多元型
…元：见《欧几里得45》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…型：见《伽利略9》…
（…《伽利略》：小说名…）
当自变量为多个时，可得出多元微分的定义。
…量：见《欧几里得27》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
一元微分又叫常微分。
切线微分
…切、线、切线：见《牛顿288》…
1、当自变量为固定值
需要求出曲线上一点的斜率时，前人往往采用作图法，将该点的切线画出，以切线的斜率作为该点的斜率。
…斜、率、斜率：见《牛顿289》…
然而，画出来的切线是有误差的。
…误、差、误差：见《牛顿64》…
也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率。
…完、全、完全：见《欧几里得39》…
微分最早就是为了从数学上解决这一问题而产生的。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
以y=x^2 为例，我们需要求出该曲线在（3，9）上的斜率，当△x与△y的值越接近于0，过这两点直线的斜率就越接近所求的斜率m。
…^：乘方…
…x^2：x的平方…
…△：读音是“德尔塔”。音标为/deltə/。
在物理学中，△常常作为变量的前缀使用，表示该变量的变化量，如：△t（时间变化量）、△T（温度变化量）、△X（位移变化量）、△v（速度变化量）等等…见《牛顿8》…
当△x与△y的值变得无限接近于0时，直线的斜率就是点的斜率。
当x=3+Δx时，y=9+Δy，也就是说：
（3+△x）^2=9+Δy
→3^2+△x^2+2×3×△x=9+Δy
→9+△x^2+6△x=9+Δy
→△x^2+6△x=Δy
（两边减去9）
→△x+6=Δy/△x
（两边除以△x）
∵ m=（△x→0）lim Δy/△x [m为曲线在（3，9）上的斜率，Δy/△x为直线斜率]
…lim：极限符号，limit的前三个字母…
[…极、限、极限：见《欧几里得218~300》…
…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围。
v.限制；限定；限量；减量…]
∴ m=（△x→0）lim Δy/△x=（△x→0）lim （6+△x）=6+（△x→0）lim △x=6
我们得出，y=x^2在点（3，9）处的斜率为6。
2、当自变量为任意值
在很多情况下，我们需要求出曲线上许多点的斜率。
如果每一个点都按上面的方法求斜率，将会消耗大量时间，计算也容易出现误差。
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
…时、间、时间：见《伽利略10》…
…计、算、计算：见《欧几里得157》…
这里我们仍以y=x^2 为例，计算图象上任意一点的斜率m。
假设该点为（x，y），做对照的另一点为（x+△x，y+Δy），我们按上面的方法再计算一遍：
…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
（x+△x）^2=y+Δy
→x^2+△x^2+2×x·△x=y+Δy
∵ y=x^2
∴ x^2+△x^2+2×x·△x=x^2+Δy
→△x^2+2×x·△x=Δy
（两边减去x^2）
→△x+2x=Δy/△x
（两边除以△x）
∵ （△x→0）lim（△x+2x）=2x+（△x→0）lim △x=2x
∴ m=（△x→0）lim Δy/△x=2x
我们得出，y=x^2在点（x，y）处的斜率为2x。
3、从二次函数到幂函数
…函、数、函数：见《欧几里得52》…
…幂：见《欧几里得113》…
通过以上的方法，我们可以得出x的二次函数在任意一点上的斜率。
但这远远不够。
我们需要把这种方法扩充到所有幂函数：
（x+△x）^n=y+Δy
→x^n+nx^（n-1）△x+…+nx△x^（n-1）+△x^n=y+Δy （二项展开式）
∵ y=x^n
∴ x^n+nx^（n-1）△x+…+nx△x^（n-1）+△x^n=x^n+Δy
→nx^（n-1）△x+…+nx△x^（n-1）+△x^n=Δy
（两边减去x^2）
→nx^（n-1）+…+nx△x^（n-2）+△x^（n-1）=Δy/△x
（两边除以△x）
加上极限：
（△x→0）lim[nx^（n-1）+…+nx△x^（n-2）+△x^（n-1）]=（△x→0）lim Δy/△x
∴ nx^（n-1）=（△x→0）lim Δy/△x
（其他项均带有△x，在△x→0的情况下都可以视为等于0）
即：（△x→0）lim Δy/△x=nx^（n-1）
我们得出，y=x^n在点（x，y）处的斜率为nx^（n-1）。
4、从幂函数到单项式
…单项式（百度百科）：由数和字母的积组成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也叫做单项式（0可看做0乘a，1可以看做1乘指数为0的字母，b可以看做b乘1）。
分数和字母的积的形式也是单项式…
（…形、式、形式：见《欧几里得13》…）
…单项式（百度汉语）2：没有加、减运算的整式。
其中数字因数（包括数和表示常数的字母）称为单项式的系数。
各自变数称为单项式的元，各元指数之和称为单项式的次数，如3xy^3·z^2是三元六次单项式，其系数是3。
任一非0数都可看作单项式，称为0次单项式。
0则称为0单项式，次数不定…
（…运、算、运算：见《欧几里得121》…
…常、数、常数：见《欧几里得132》…
…系、数、系数：见《牛顿2》…）
我们可以把幂函数的斜率扩展到单项式函数y=ax^n的斜率，依然假设有两点（x，y）和（x+△x，y+△y）:
a（x+△x）^（n+1）=y+Δy
→ax^n+anx^（n-1）△x+…+anx△x^（n-1）+a△x^n=y+Δy （二项展开式）
∵ y=ax^n
∴ ax^n+anx^（n-1）△x+…+anx△x^（n-1）+a△x^n=ax^n+Δy
→anx^（n-1）△x+…+anx△x^（n-1）+a△x^n=Δy
（两边减去ax^n）
→anx^（n-1）+…+anx△x^（n-2）+a△x^（n-1）=Δy/△x
（两边除以△x）
加上极限：
（△x→0）lim[anx^（n-1）+…+anx△x^（n-2）+a△x^（n-1）]=（△x→0）lim Δy/△x
∴ anx^（n-1）=（△x→0）lim Δy/△x
（其他项均带有△x，在△x→0的情况下都可以视为等于0）
即：（△x→0）lim Δy/△x=anx^（n-1）
我们得出，y=ax^n在点（x，y）处的斜率为anx^（n-1）。
这就是微分的基本公式。
…基、本、基本：见《欧几里得2》…
…公：见《欧几里得1》…
…式、公式：见《欧几里得132》…
注意：基本公式极为重要，在学习更为复杂的运算法则前请务必牢记。
…学、习、学习：见《牛顿160》…
…复、杂、复杂：见《欧几里得133》…
…法、则、法则：见《欧几里得108》…
（△x→0）lim Δy/△x=m被记作dy/dx=m
（本质相同；一种本质的两种说法。
…本、质、本质：见《欧几里得22》…）
5、多项式
当函数为几个ax^n 形式的单项式的和或差时，这个函数的导数只需在单项式的导数上进行加减即可。
…导、数、导数：见《牛顿288~294》…
以函数y=ax^m+bx^n为例，将其拆分为两个函数u=ax^m和v=bx^n，且y=u+v。
可以得出du/dx=amx^（m-1），dv/dx=bnx^（n-1）。
y+△y=（u+△u）+（v+△v）
∵ y=u+v
∴ y+△y=（u+△u）+（v+△v）
→u+v+△y=（u+△u）+（v+△v）
→△y=△u+△v
两边除以△x：△y/△x=△u/△x+△v/△x
∵ （△x→0）lim Δy/△x=m被记作dy/dx=m；△y/△x=△u/△x+△v/△x
∴ dy/dx=du/dx+dv/dx=amx^（m-1）+bnx^（n-1）
→d（ax^m+bx^n）/dx=amx^（m-1）+bnx^（n-1）
同理可以得出d（ax^m-bx^n）/dx=amx^（m-1）-bnx^（n-1）
最后得出公式：
d（ax^m±bx^n）/dx=amx^（m-1）±bnx^（n-1）
有了这两个公式，我们可以对大部分常见的初等函数求导。
“d（a）/dx=0
请看下集《牛顿333、微分运算法则；常数的导数为什么是0？》”
若不知晓历史，便看不清未来