画出来的切线有误差;代数法求点的斜率;微分基本公式推导

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牛顿332、画出来的切线有误差;代数法求点的斜率;微分基本公式推导

微分(百度百科):

…微、分、微分:见《牛顿321~330》…

多元型

…元:见《欧几里得45》…

(…《欧几里得》:小说名…)

…型:见《伽利略9》…

(…《伽利略》:小说名…)

当自变量为多个时,可得出多元微分的定义。

…量:见《欧几里得27》…

…定、义、定义:见《欧几里得28》…

一元微分又叫常微分。

切线微分

…切、线、切线:见《牛顿288》…

1、当自变量为固定值

需要求出曲线上一点的斜率时,前人往往采用作图法,将该点的切线画出,以切线的斜率作为该点的斜率。

…斜、率、斜率:见《牛顿289》…

然而,画出来的切线是有误差的。

…误、差、误差:见《牛顿64》…

也就是说,以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率。

…完、全、完全:见《欧几里得39》…

微分最早就是为了从数学上解决这一问题而产生的。

…数、学、数学:见《欧几里得49》…

以y=x^2 为例,我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率,当△x与△y的值越接近于0,过这两点直线的斜率就越接近所求的斜率m。

…^:乘方…

…x^2:x的平方…

…△:读音是“德尔塔”。音标为/deltə/。

在物理学中,△常常作为变量的前缀使用,表示该变量的变化量,如:△t(时间变化量)、△T(温度变化量)、△X(位移变化量)、△v(速度变化量)等等…见《牛顿8》…

当△x与△y的值变得无限接近于0时,直线的斜率就是点的斜率。

当x=3+Δx时,y=9+Δy,也就是说:

(3+△x)^2=9+Δy

→3^2+△x^2+2×3×△x=9+Δy

→9+△x^2+6△x=9+Δy

→△x^2+6△x=Δy

(两边减去9)

→△x+6=Δy/△x

(两边除以△x)

∵ m=(△x→0)lim Δy/△x [m为曲线在(3,9)上的斜率,Δy/△x为直线斜率]

…lim:极限符号,limit的前三个字母…

[…极、限、极限:见《欧几里得218~300》…

…limit(英文):n.限度;限制;极限;限量;限额;(地区或地方的)境界,界限,范围。

v.限制;限定;限量;减量…]

∴ m=(△x→0)lim Δy/△x=(△x→0)lim (6+△x)=6+(△x→0)lim △x=6

我们得出,y=x^2在点(3,9)处的斜率为6。

2、当自变量为任意值

在很多情况下,我们需要求出曲线上许多点的斜率。

如果每一个点都按上面的方法求斜率,将会消耗大量时间,计算也容易出现误差。

…方、法、方法:见《欧几里得2、3》…

…时、间、时间:见《伽利略10》…

…计、算、计算:见《欧几里得157》…

这里我们仍以y=x^2 为例,计算图象上任意一点的斜率m。

假设该点为(x,y),做对照的另一点为(x+△x,y+Δy),我们按上面的方法再计算一遍:

…方、法、方法:见《欧几里得2、3》…

(x+△x)^2=y+Δy

→x^2+△x^2+2×x·△x=y+Δy

∵ y=x^2

∴ x^2+△x^2+2×x·△x=x^2+Δy

→△x^2+2×x·△x=Δy

(两边减去x^2)

→△x+2x=Δy/△x

(两边除以△x)

∵ (△x→0)lim(△x+2x)=2x+(△x→0)lim △x=2x

∴ m=(△x→0)lim Δy/△x=2x

我们得出,y=x^2在点(x,y)处的斜率为2x。

3、从二次函数到幂函数

…函、数、函数:见《欧几里得52》…

…幂:见《欧几里得113》…

通过以上的方法,我们可以得出x的二次函数在任意一点上的斜率。

但这远远不够。

我们需要把这种方法扩充到所有幂函数:

(x+△x)^n=y+Δy

→x^n+nx^(n-1)△x+…+nx△x^(n-1)+△x^n=y+Δy (二项展开式)

∵ y=x^n

∴ x^n+nx^(n-1)△x+…+nx△x^(n-1)+△x^n=x^n+Δy

→nx^(n-1)△x+…+nx△x^(n-1)+△x^n=Δy

(两边减去x^2)

→nx^(n-1)+…+nx△x^(n-2)+△x^(n-1)=Δy/△x

(两边除以△x)

加上极限:

(△x→0)lim[nx^(n-1)+…+nx△x^(n-2)+△x^(n-1)]=(△x→0)lim Δy/△x

∴ nx^(n-1)=(△x→0)lim Δy/△x

(其他项均带有△x,在△x→0的情况下都可以视为等于0)

即:(△x→0)lim Δy/△x=nx^(n-1)

我们得出,y=x^n在点(x,y)处的斜率为nx^(n-1)。

4、从幂函数到单项式

…单项式(百度百科):由数和字母的积组成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也叫做单项式(0可看做0乘a,1可以看做1乘指数为0的字母,b可以看做b乘1)。

分数和字母的积的形式也是单项式…

(…形、式、形式:见《欧几里得13》…)

…单项式(百度汉语)2:没有加、减运算的整式。

其中数字因数(包括数和表示常数的字母)称为单项式的系数。

各自变数称为单项式的元,各元指数之和称为单项式的次数,如3xy^3·z^2是三元六次单项式,其系数是3。

任一非0数都可看作单项式,称为0次单项式。

0则称为0单项式,次数不定…

(…运、算、运算:见《欧几里得121》…

…常、数、常数:见《欧几里得132》…

…系、数、系数:见《牛顿2》…)

我们可以把幂函数的斜率扩展到单项式函数y=ax^n的斜率,依然假设有两点(x,y)和(x+△x,y+△y):

a(x+△x)^(n+1)=y+Δy

→ax^n+anx^(n-1)△x+…+anx△x^(n-1)+a△x^n=y+Δy (二项展开式)

∵ y=ax^n

∴ ax^n+anx^(n-1)△x+…+anx△x^(n-1)+a△x^n=ax^n+Δy

→anx^(n-1)△x+…+anx△x^(n-1)+a△x^n=Δy

(两边减去ax^n)

→anx^(n-1)+…+anx△x^(n-2)+a△x^(n-1)=Δy/△x

(两边除以△x)

加上极限:

(△x→0)lim[anx^(n-1)+…+anx△x^(n-2)+a△x^(n-1)]=(△x→0)lim Δy/△x

∴ anx^(n-1)=(△x→0)lim Δy/△x

(其他项均带有△x,在△x→0的情况下都可以视为等于0)

即:(△x→0)lim Δy/△x=anx^(n-1)

我们得出,y=ax^n在点(x,y)处的斜率为anx^(n-1)

这就是微分的基本公式。

…基、本、基本:见《欧几里得2》…

…公:见《欧几里得1》…

…式、公式:见《欧几里得132》…

注意:基本公式极为重要,在学习更为复杂的运算法则前请务必牢记。

…学、习、学习:见《牛顿160》…

…复、杂、复杂:见《欧几里得133》…

…法、则、法则:见《欧几里得108》…

(△x→0)lim Δy/△x=m被记作dy/dx=m

(本质相同;一种本质的两种说法。

…本、质、本质:见《欧几里得22》…)

5、多项式

当函数为几个ax^n 形式的单项式的和或差时,这个函数的导数只需在单项式的导数上进行加减即可。

…导、数、导数:见《牛顿288~294》…

以函数y=ax^m+bx^n为例,将其拆分为两个函数u=ax^m和v=bx^n,且y=u+v。

可以得出du/dx=amx^(m-1),dv/dx=bnx^(n-1)。

y+△y=(u+△u)+(v+△v)

∵ y=u+v

∴ y+△y=(u+△u)+(v+△v)

→u+v+△y=(u+△u)+(v+△v)

→△y=△u+△v

两边除以△x:△y/△x=△u/△x+△v/△x

(△x→0)lim Δy/△x=m被记作dy/dx=m;△y/△x=△u/△x+△v/△x

∴ dy/dx=du/dx+dv/dx=amx^(m-1)+bnx^(n-1)

→d(ax^m+bx^n)/dx=amx^(m-1)+bnx^(n-1)

同理可以得出d(ax^m-bx^n)/dx=amx^(m-1)-bnx^(n-1)

最后得出公式:

d(ax^m±bx^n)/dx=amx^(m-1)±bnx^(n-1)

有了这两个公式,我们可以对大部分常见的初等函数求导。

“d(a)/dx=0

请看下集《牛顿333、微分运算法则;常数的导数为什么是0?》”

若不知晓历史,便看不清未来

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