面积计算（九）

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对于广大家长来说，求面积最头疼的莫过于只能用小学生的方法来做，不能用相似或者勾股定理。很多题目如果用初中的方法来做的话，其实非常简单。如果单纯从功利的角度来说，如果孩子能够接受的话，那么教孩子一些超纲的东西也不是不行，比如今天就打算介绍一下梅涅劳斯定理。

之所以在小学讲梅涅劳斯定理，是因为这个定理中考不考，属于初中纯竞赛的内容；但是对小学生来说，如果奥数涉及到较难的面积问题时往往有奇效。

定理叙述如下：

证明的话可以分别过A，B，C向FD引垂线，然后用平行线分线段成比例定理来做，这里就不多介绍了，我们主要还是来看定理的应用。

例1  已知矩形ABCD的面积是4，EC=3DE，F是DG的中点，求阴影部分的面积是多少？

这是我在第七讲中所举的例子，请各位可以往前翻翻，当时为了加上合适的辅助线，我们可是分析了半天。如果用梅涅劳斯定理呢？

解：由可知：

把条件中的比例关系代进去，马上可以得到CB：BG=3：1，即BG：GC=1:2.

△BCD的面积为2，△DCG的面积为其面积的2/3，也就是4/3，DE：DC=1:4，DF：DG=1:2，所以△DEF和△DCG面积之比为1:8，于是四边形面积为7/8 ×4/3 =7/6.

是不是很简单？！

直接省去了找辅助线的麻烦！当然对于初学者来说，重要的是定理内容不能记错，同时对于基本图形要熟悉。

例2  如图，△ABC的面积为28，DC=3DB，AE=ED，求阴影部分面积。

如果不用梅涅劳斯定理，我们肯定要思考三个问题：要不要加辅助线？加哪里？对不对？

根据已知条件，我们很容易求出△ACD的面积，而△DEC的面积恰好是其一半；但是△AEF的面积我们是没有办法通过已知的这些比例关系得到的，于是乎肯定要加辅助线。我们可以连接BE，剩下的部分留给读者自行补齐，总之还是需要多次转换的。

但是如果有了梅涅劳斯定理，那就方便很多了。

本题的难点在于求△AEF的面积，而要知道△AEF的面积，需要知道EF：EC以及△AFC的面积，而要知道△AFC的面积，需要知道AF：FB，但是这个可以由梅涅劳斯定理一步到位！

由于

且DC=3DB，AE=ED，可知AF：FB=3:4.

所以△AFC的面积为12.

然后再计算FE：EC.我们注意到，如果把这个图给竖起来，还有一组梅涅劳斯定理的基本图：

我们再把前面的结论代入，CD:BD=3,BA:AF=7:3,则FE：EC=1:7，即△AEF的面积为3/7×1/8×28=3/2.

△DEC的面积等于3/4×1/2×28=21/2,所以阴影部分的面积为3/2+21/2=12.

是不是大大降低了难度？这个方法算是投机取巧吧，对于找辅助线实在有困难的孩子来说，没有办法的办法总是好办法。使用的时候一定要找准基本图形，而且基本图形中有两组的比例是给出的，那么就可以使用这个超纲的家伙了。

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