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北师大版九年级数学上册知识点归纳总结

第一章  特殊的平行四边形

一、平行四边形
1、平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边平行且相等。(对边)
(2)平行四边形相邻的角互补,对角相等(对角)
(3)平行四边形的对角线互相平分。(对角线)
(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点。
常用点:
(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点,并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
(2)推论:夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、平行四边形的判定
(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(对边)
(2)定理1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(对边)
(3)定理2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(对边)
(4)定理3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。(对角)
(5)定理4:对角线互相平分的四边形是平行四边形。(对角线)
4、两条平行线的距离
两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。 注意:平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积:  S平行四边形=底边长×高=ah
二、菱形
1、菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
(1)菱形的四条边相等,对边平行。 (边)
(2)菱形的相邻的角互补,对角相等。(对角)
(3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角。(对角线)
(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条,是对角线所在的直线。
3、菱形的判定
(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)定理1:四边都相等的四边形是菱形。(边)
(3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(对角线)
(4)定理3:对角线垂直且平分的四边形是菱形。(对角线)
4、菱形的面积:   S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
三、矩形
1、矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
(1)矩形的对边平行且相等。(对边)
(2)矩形的四个角都是直角。(内角)
(3)矩形的对角线相等且互相平分。(对角线)
(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的距离相等);对称轴有两条,是对边中点连线所在的直线。
3、矩形的判定
(1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形。
(2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形。(角)
(3)定理2:对角线相等的平行四边形是矩形。(对角线)
※推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4、矩形的面积:S矩形=长×宽=ab
四、正方形
1、正方形的定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
(1)正方形四条边都相等,对边平行。(边)
(2)正方形的四个角都是直角 (角)
(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角(对角线)
(4)正方形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点;对称轴有四条,是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。
3、正方形的判定
(1)定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
(2)定理1:有一组邻边相等的矩形是正方形。
(3)定理2:对角线互相垂直的矩形是正方形。
(4)定理3:有一个角是直角的菱形是正方形。
(5)定理4:对角线相等的菱形是正方形。
(6)定理5:对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种:
(1)先证它是矩形,再证它是菱形。
(2)先证它是菱形,再证它是矩形。

第三章  概率的进一步认识

 频率与概率的含义 
在试验中,每个对象出现的频繁程度不同,我们称每个对象出现的次数为频数,而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率,即

把刻画事件A发生的可能性大小的数值,称为事件A发生的概率。
通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率
在进行试验的时候,当试验的次数很大时,某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。
我们可以通过多次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。

第四章 图形的相似

一、成比例线段
1、定义:
(1)、线段比:如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即AB:CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n.
(2)、成比例线段:四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即a/b=c/d,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段。
2、定理:如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),
那么(a+c+m)/(b+d++n)=a/b
二、平行线分线段成比例
1、两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线段成比例。
三、相似多边形
定义:各角分别相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
四、探索三角形相似的条件
1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、概念:一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果AC/AB=BC/AC,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比。
五、相似三角形判定定理的证明
六、利用相似三角形测高
1、利用阳光下的影子
2、利用标杆
3、利用镜子的反射
七、相似三角形的性质
1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。
2、相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。
八、图形的位似
定义:一般地,如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都 经过同一个点O,且有OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形,点O叫做位似中心。实际上,k就是这两个相似多边形的相似比。
第五章 投影与视图
A)三视图 
· 主视图——从正面看到的图 左视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图
· 画物体的三视图时,要符合如下原则:大小:长对正,高平齐,宽相等.
· 虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.
B)投影 
· 物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象.
· 太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。
· 在同一时刻,物体高度与影子长度成比例.
· 物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影.
· 探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称
为中心投影
· 皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.它们是中心投影。
C)视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。
.  眼睛所在的位置称为视点,
.  由视点发出的光线称为视线,
.  眼睛看不到的地方称为盲区
第六章  反比例函数
一、反比例函数的概念
一般地如果两个变量x,y之间的关系可以表示

的形式,那么称y是x的反比例函数。(反比例函数的解析式也可以写成

的形式。自变量x的取值范围是x

0的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。)

二、反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x

0,函数y

0,所以,它的图象与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

三、反比例函数的性质
四、反比例函数解析式的确定
确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数

中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。

五、反比例函数中反比例系数的几何意义
过反比例函数

图像上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM,PN,垂足分别是M、N,则所得的矩形PMON的面积

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