浅谈数学与经济学的关系

之所以说学好经济学，数学很重要是因为经济学已经越来越成为一门精确的学科，而一个学科成为科学的标志就是它是否成功的使用了数学，经济学也是如此。经济学如果非要和现有学科进行比较的话，那我说与之最接近的就是物理，而把经济学归为文科一类的归类方法是相当过时的。为什么说经济学类比于物理呢？因为二者同样是在一系列假定的基础之上，用严格的推理得到结论的学科，唯一不同就是物理大量使用重复试验的方法来验证结论，而经济学中的重复试验则比较困难。因此经济学研究中数学使用的好坏直接导致了经济学研究的成败。也因此现代经济学领域很少有像科斯那样的奇才能逾越数学而仍旧非常成功的经济学家。

如此重要的数学本身的体系也是很复杂的，因此本文就重点谈谈数学的各个分支学科和经济的联系。

数学有三高，数学分析、高等代数、解析几何(最近也有新提法：数学分析，高等代数，概率统计)，这是老的提法，也有人叫三基，因此可以称之为老三高或者老三基，是高等数学的基础。还有近代数学的基础——新三基，领域上还是分析、代数和几何，只不过内容有了本质上的进化，分别是实函与泛函分析、近似代数和拓扑学。

先看老三高，数学分析就相当于经济学类学生大一学的高等数学，不过高等数学其实是为工科的学生准备的，以计算为主，最终的目的是能使用数学进行工程计算，而数学分析是以证明为主，主要是训练学生逻辑思维的能力，因此表面上看内容差别不是太大，但是实际学起来是不一样的。因此对于经济学这样的以推理为主的学科，学习数学分析是十分必要的。这一点田国强教授等人也多次撰文提过。数学分析数学系的本科生至少要学三到四个学期，而高等数学一般最多只有两个学期，而且其中还含有常微分方程和解析几何的东西，可见其内容被压缩冲淡了许多。高等代数相当于经济类学生学的线性代数，除了范围上前者更广一些外主要的差别也是偏重理论与偏重计算的问题。高等代数更注重理论的证明过程，而线性代数更注重计算，学生会算了就行，至于怎么来的，为什么这样，这些对将来科研很重要的东西都很少训练。解析几何这种学科在经济上的直接应用较少，经济上的图像一般也没有复杂到不学解析几何就看不懂的地步，但是我个人感觉几何学的好的人对代数的理解一般会更加深刻，代数很多方面就是几何的多维扩展。

再看看新三高。实函与泛函在学科中一般被分为两科来学，本身也是两个不同的领域，只是由于叫法的问题经常被捏在一起。实函的主要内容是数学分析的延续，对于狄里克莱函数这样异常的函数在数学分析的领域中不可微积分，而通过对一系列定义的扩展，在实变函数的领域内又可以进行微积分了。其中里面最基础的理论莫过于测度理论，它也是概率论的基础，因此在数学系本科的教学中经常是先学实变再学概率论。而对随机问题研究颇多的金融学科的博士需要研究测度论也就不足为奇了。

泛函可以说是数学中集大成之作。数学的发展在历史上有两个方向，一个是越来越精细，对某一问题的深入探讨进而发展成一门学科，另一个方向就是从很高的高度对数学进行概括，描述学科与学科之间的共性的问题进而找出漂亮的结论，泛函分析就是这样一门学科。它把函数看成集合中的元素，把全体函数看成一个集合，在这样的视角下给出了像不动点定理这样的东西，对求函数的极值这样理论证明上经常遇到的问题给出了一般的解法，因此如果泛函不懂，在学习高等宏观经济学中，遇见涉及动态规划的问题时肯定是有很大障碍的。所以高等宏观才会有罗默的那本为数学不好的人提供的书的畅销，而很多老师却在推荐萨金特的高级宏观。对于近似代数和拓扑学，很不幸，本人读书的那个年代正直高校学科改革，在学科“应用化”的浪潮下，这样理论的学科都被砍掉了，后来转经济后也没有对此学科有过多的涉猎，因此在这里不敢多说，但据说拓扑的应用也十分广泛。

分支学科

新老三高学完了就进入数学比较分支的一些学科了，先说说常微分方程。大部分的经济学理论都是由一系列函数和方程描述的，因此在求解结论的时候一定会用到方程理论。而方程的基础就是常微分方程，因此常微不可不学。金融学科对这方面的要求很高，比如对股价的刻画，使用的是时间序列，一般用差分方程，而差分方程的很多理论和常微分方程是一样的，解法也一样。

概率论与数理统计。大部分的经济学科学生是学概率的但是不学统计或者统计是考查，学生也不重视。但事实上现代经济学的研究逐渐由静态转向动态、由对确定性问题的分析转向对不确定问题的分析，对随机事件的认识应该越来越重要。概率是数理统计的基础，数理统计其实是一种方法，学了数理统计才能去研究计量经济学，很难想象没学过统计的学生直接学计量是何等的困难，T统计量F统计量是什么都不懂怎么可能用软件去建模。有经济的研究生毕业时答辩居然都说不清AIC和SIC准则是干什么的，只知道去背使用方法，不知道其中的道理，其实学好数理统计理解这样的问题是不难的。

计量经济学其实可以认为是数理统计的一个分支。我个人人为计量经济学其实就是一系列数理统计方法及其评价的集合体，因此概率和统计的认识尤其大数定律和中心极限定理这样的核心理论的认识，直接制约着对计量的理解能力。 

随机过程。随机过程从名字上就可以看出来是以概率论为基础的。概率研究的对象是事件，对事件发生的分布从各个角度研究。随机过程研究的对象是过程，也就是对事件在各个时刻的积累结果进行研究，是对事件增加了一个时间维度。金融学对随机过程的要求越来越重要，因为像股票价格这样的变量的变动就是一个随机过程。它和方程结合起来就是随机微分方程，有学者称金融最前沿的问题就是随机微分方程，因此由学校的数学系就招收金融工程的博士生。 

时间序列分析。学完了计量，一般的金融研究生都要学时间序列分析。从随机过程的角度时间序列也就是一类特殊的随机过程，金融和宏观经济一般都是用时间序列模型刻画的。

多元统计。数理统计学完了其实能做的实际事情很少，因为数理统计的对象最多是二维的，而实际问题一般变量的维度较高，多元统计就是讲多元变量的统计，这样密集计算的学科是少不了计算机的，各种软件也层出不穷。但是无论软件多么好用，不懂理论是不可能光凭操作软件解决问题的，因为看懂软件结果、分析解释软件结果才是统计中最核心的内容。学完了多元统计就可以很容易的全面的使用像SPSS这样的傻瓜软件的（建议去学习SAS吧）。

数值分析。数值分析和编程基础对于想搞计量经济学研究的人是不可或缺的，因为新的计量经济理论的提出需要软件实践，新的理论是不可能有现成的软件供使用的，必须要自己编。算法是编程的基础，而数值分析就是讲算法的。

最优化理论。我国的经济学教育体系中没有对这方面进行强化，与之相近的是管理科学和有些工科领域中有运筹学、数学中有线性规划和非线性规划能够涉猎，不过侧重是不一样的。有经济学家认为经济学就是规划就是求最值，事实上最优化方法在经济学科中的应用也确实很广。最优化是需要一定的泛函理论的，有了一定的泛函的基础后对其中的变分法、动态规划的问题就不那么难理解了，而这也是学习高级经济学不可缺少的数学知识。

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