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二次函数

知识点梳理：

1.定义：一般地，如果y=ax²+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数y=ax²的性质

（1）抛物线y=ax²的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

（2）函数y=ax²的图像与a的符号关系.

①当a>0时Û抛物线开口向上Û顶点为其最低点；

②当a<0时Û抛物线开口向下Û顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为y=ax²（a≠0）.

3.二次函数 y=ax²+bx+c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

4.二次函数y=ax²+bx+c用配方法可化成：

y=a（x - h）²+k的形式，其中

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①y=ax²；

②y=ax²+k；

③y=a（x - h）²；

④y=a（x - h）²+k；

⑤y=ax²+bx+c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：

当a>0时，开口向上；

当a<0时，开口向下；

|a|相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0.

7.顶点决定抛物线的位置.

几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：

∴顶点是:

对称轴是直线:

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-h）²+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x=h.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

旋转

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