高阶等比数列和的证明
1、定义——
(1)Sk(n,x)=1+2kx+3kx2+……+nkxn-1.
(2)C(A,B)=A!/[B!(A-B)!](组合公式).
2、高阶等比数列和的证明:
(1)公式——
(1-x)S0(n,x)=1-xn.
(1-x)Sk(n,x)=∑ki=1(-1)i-1C(k,i)Sk-i(n,x)-nkxn. (k为正整数)
(2)证明——
① Sk(n,x)=∑nj=1(jkxj-1)、 x*Sk(n,x)=∑nj=1(jkxj). (k为正整数)
② 相减得 (1-x)Sk(n,x)=∑nj=1[jk-(j-1)k)]xj-1-nkxn=∑ki=1(-1)i-1C(k,i)Sk-i(n,x)-nkxn.
3、将x=1代入上面公式中,再将k换成(k+1)、i换成(i+1),即得“高阶等差数列和”的公式,Sk(n,1)=Sk(n):
∑ki=0(-1)iC(k+1,i+1)Sk-i(n)=nk+1.
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