高阶等比数列和的证明

1、定义——

(1)Sk(n,x)=1+2kx+3kx2+……+nkxn-1.

(2)C(A,B)=A!/[B!(A-B)!](组合公式).

2、高阶等比数列和的证明:

(1)公式——

(1-x)S0(n,x)=1-xn.

(1-x)Sk(n,x)=∑ki=1(-1)i-1C(k,i)Sk-i(n,x)-nkxn. (k为正整数)

(2)证明——

①   Sk(n,x)=∑nj=1(jkxj-1)、  x*Sk(n,x)=∑nj=1(jkxj). (k为正整数)

②  相减得 (1-x)Sk(n,x)=∑nj=1[jk-(j-1)k)]xj-1-nkxn=∑ki=1(-1)i-1C(k,i)Sk-i(n,x)-nkxn.

3、将x=1代入上面公式中,再将k换成(k+1)、i换成(i+1),即得“高阶等差数列和”的公式,Sk(n,1)=Sk(n):

ki=0(-1)iC(k+1,i+1)Sk-i(n)=nk+1.

(0)

相关推荐