基本尺规作图及典型题思路分析 / 开普饭

本文内容摘自《初中数学典型题思路分析》

一、五种基本作图

(1)作一条线段,等于已知线段;

已知线段MN，求作：一条线段等于已知线段.

作法：图先画射线AB,然后用圆规在射线AB上截取AC= MN.线段AC就是所要作的线段.(2)作一个角等于已知角(其理论依据为“SSS”理);

已知∠AOB.求作：∠A'0'B'，使∠ A'0'B‘= ∠AOB.

作法：①作射线0'A‘;②以点0为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C,交OB于D;③以点0'为圆心，以OC长为半径作弧，交0'A'于C‘;④以点C'为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D‘;⑤经过点D'作射线0'B'， ∠A' 0'B'就是所求的角.

(3)作已知角的平分线(其理论依据为“SSS”公理);

已知∠AOB,求作：射线OC,使∠AOC= ∠BOC.作法：①在OA和OB上，分别截取OD. OE.②分别以D.E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠ AOB内，两弧交于点C；③作射线OC.OC就是所求的射线.

(4)经过一点(点在直线上或点在直线外)作已知直线的垂线;a.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.

已知：直线AB和AB上一点C,求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：作平角ACB的平分线CF,直线CF就是所求的垂线.b.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.

已知：直线AB和AB外一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：①任意取一点K,使K和C在AB的两旁;②以C为圆心,CK长为半径作弧，交AB于点D和E;③分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F.④作直线CF.直线CF就是所求的垂线，注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决.

(5)作线段的垂直平分线已知线段AB,求作：线段AB的垂直平分线

作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的AB长为半径作弧，两弧相交于点C和D；②作直线CD,直线CD就是线段AB的垂直平分线.注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点.

二、例题思路分析

例题1：已知:如图所示两角及其夹边,求作三角形.已知∠α、∠β ，线段a. 求作 △ABC,使 ∠A =∠α, ∠B = ∠β,AB=a.

【解题思路及做法】假定△ABC已经作成（画一草图,如下图上所示),则应该有使∠A =∠α, ∠B = ∠β ,AB=a.都标注在草图上,根据此草图进行观察,便可确定以下作法.作法:如图所示:(1)作∠BAC= ∠α(2)在射线AB上截取AB=a,(3)作∠ABC= ∠β,则边BC与AC交于点C.则△ABC即为所求作的三角形.

例题2：已知三边，求做三角形.如图已知:线段a 、b 、 c.求作: △ABC,使BC=a,AC=b,AB=C.

【解题思路及做法】假定△ABC已经作成（画一草图,如下图左所示),则应该有使BC=a, AC= b,AB=c.都标注在草图上, 进行观察分析,便可确定以下作法.作法:如图所示:(1)作线段BC= a(2)以点B为圆心，C为半径画弧.(3)以点C为圆心，b为半径画弧与前弧相交于A.连接AB、AC，则△ ABC即为所求作的三角形.

例题3：已知一直角边和斜边,求作直角三角形.如图已知:线段a 、c.求作: △ABC,∠C=Rt∠,BC=a,AB=c.

【解题思路及做法】假定△ABC已经作成[画一草图,下图上所示),则应该有∠C=Rt∠,BC=a,AB=c,根据此草图进行观察分析,便可确定以下作法步骤.作法:(1)作射线BC,并在射线BC上截取BC=a;

(2)过点C作BC的垂线CA;(3)以点B为圆心,c长为半径画弧与CA相交于点A;(4)连接AB.则△ABC为所求作的直角三角形

注意:作BC的垂线AC时,只能用圆规直规作图的基本要求.以上三例均属一般作图,而复杂作图见下面例题

例题4：已知三角形一条边及这条边上的中线和高,求作三角形.已知:线段a,b,h.求作: △ABC,使BC=a,中线AD=b,高AE=h.

【解题思路及做法】假定△ABC已经作成[画一草图.如下图上所示),应该有BC=a,中线AD=b,高AE=h,都标注在草图上,再观察分析此图形,便发现Rt△ADE 可作(已知直角三角形的一条直角边与斜边),又BD=DC=1/2 a∴点BC可确定,从而△ABC可作出.作法: (1)作△ADE,使∠AED=Rt∠,AE=h,AD=b;(2)在DE 所在的直线上截取BD=DC=1/2 a(3)连接AB,AC.则△ABC即为所求作的三角形.

说明:(1)在写复杂作图的作法时,对常用的一般作图的作法可不必细写而概括写出,如本题中已知一直角边和斜边作△ADE的叙述就是这样.(2)根据所给的条件,本题中的△ABC不能直接作出,但当我们找到了一个可作的△ADE后,以它为基础, △ABC就能作出了.

例题5：已知三角形两边及第三边上的中线,求作三角形.已知:线段a,b及m.求作: △ABC,使AB=a,AC=b,中线AD=m.

【解题思路及做法】假定△ABC已经作成[画一草图.下图上所示),应该有AB=a, AC=b,中线AD=m,再观察分析图形,看这已知三条线段共点A,点A可确定,但B、C、D三点则无法确定,为此需搞“等代转化”,根据“只具部分全等条件需构造全等三角形”便立即想到“倍长中线法”,于是延长AD至E,使AE=2AD=2m,再连接BE,∵△EBD≌△ACD,可推出BE=AC=b,于是奠基△ABE可作出,进而△ABC可作出.

作法: (1)作△ABE,使AB=a,BE=b,AE=2m;(2)作AE的中点D,再连接BD并延长使BD=DC;(3)连接AC.则△ABC即为所求作的三角形.