威海丨中考数学选填压轴题,怎么使用线段求解的简易方法解析

威海选填压轴也存在几何线段的求解,全国都在考,为什么相似重要,大家把这类题目好好看看再结合相似模型进行学习,真的会事半功倍。威海作为山东和全国最适人口居住的地方,中考的难度不算大,但是在山东有一席之位,其次很多题目全国引用。

实操真题讲解

1.(2020·威海)如图,矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3,l4,l2,l1上.若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等,AB=4,BC=3,则tanα的值为(  )

A.3/8      B.3/4      C.√5/2       D.√15/15

【分析】

根据题意,可以得到BG的长,再根据∠ABG=90°,AB=4,可以得到∠BAG的正切值,再根据平行线的性质,可以得到∠BAG=∠α,从而可以得到tanα的值.

【解答】

解:作CF⊥l4于点F,交l3于点E,设CB交l3于点G,

由已知可得,

GE∥BF,CE=EF,

∴△CEG∽△CFB,

∴CE/CF=CG/CB,

∵CE/CF=1/2,

∴CG/CB=1/2,

∵BC=3,

∴GB=,

∵l3∥l4,

∴∠α=∠GAB,

∵四边形ABCD是矩形,AB=4,

∴∠ABG=90°,

∴tan∠BAG=BG/AB=(3/2)/4=3/8,

∴tanα的值为3/8,

故选:A.

【点评】

本题考查矩形的性质,解直角三角形,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.

2.(2018·威海)矩形ABCD与CEFG如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=(  )

A.1         B.2/3        C.√2/2      D.√5/2

【分析】

延长GH交AD于点P,先证△APH≌△FGH得AP=GF=1,GH=PH=1/2PG,再利用勾股定理求得PG=√2,从而得出答案.

【解答】

解:如图,延长GH交AD于点P,

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,

∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°,AD=BC=2、GF=CE=1,

∴AD∥GF,

∴∠GFH=∠PAH,

又∵H是AF的中点,

∴AH=FH,

在△APH和△FGH中,

∠PAH=∠GFH

AH=FH

∠AHP=∠FHG

∴△APH≌△FGH(ASA),

∴AP=GF=1,GH=PH=1/2PG,

∴PD=AD﹣AP=1,

∵CG=2、CD=1,

∴DG=1,

则GH=1/2PG=1/2×√PD²+√DG²=√2/2,

故选:C.

【点评】

本题主要考查矩形的性质,解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点.

3.(2016·威海)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为(  )

A、9/5       B、12/5    C、16/5   D、18/5

【分析】

连接BF,根据三角形的面积公式求出BH,得到BF,根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°,根据勾股定理求出答案.

【解答】

解:连接BF,

∵BC=6,点E为BC的中点,

∴BE=3,

又∵AB=4,

∴AE=√AB²+√BE²=5,

由折叠知,BF⊥AE(对应点的连线必垂直于对称轴)

∴BH=(AB×BE)/AE=12/5,

则BF=24/5,

∵FE=BE=EC,

∴∠BFC=90°,

∴CF=√6²-√(24/5)²=18/5.

故选:D.

【点评】

本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质,掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等是解题的关键.

4.(2019·威海)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,过点C作CE⊥BC,交AD于点E,连接BE,∠BEC=∠DEC,若AB=6,则CD= 3 .

【分析】

延长BC、AD相交于点F,可证△EBC≌△EFC,可得BC=CF,则CD为△ABF的中位线,故CD=1/2AB可求出.

【解答】

解:如图,延长BC、AD相交于点F,

∵CE⊥BC,

∴∠BCE=∠FCE=90°,

∵∠BEC=∠DEC,CE=CE,

∴△EBC≌△EFC(ASA),

∴BC=CF,

∵AB∥DC,

∴AD=DF,

∴DC=1/2AB=6×1/2=3.

故答案为:3.

【点评】

本题考查了平行线的性质,全等三角形的判定与性质,三角形的中位线定理等知识,解题的关键是正确作出辅助线.

5.(2017·威海)如图,△ABC为等边三角形,AB=2.若P为△ABC内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小值为2√3/3  

【分析】

由等边三角形的性质得出∠ABC=∠BAC=60°,AC=AB=2,求出∠APC=120°,当PB⊥AC时,PB长度最小,设垂足为D,此时PA=PC,由等边三角形的性质得出AD=CD=1/2AC=1,∠PAC=∠ACP=30°,∠ABD=1/2∠ABC=30°,求出PD=AD·tan30°=√3/3AD=√3/3,BD=√3AD=√3,即可得出答案.

【解答】

解:∵△ABC是等边三角形,

∴∠ABC=∠BAC=60°,AC=AB=2,

∵∠PAB=∠ACP,

∴∠PAC+∠ACP=60°,

∴∠APC=120°,

∴点P的运动轨迹是AC,

当O、P、B共线时,PB长度最小,设OB交AC于D,如图所示:

此时PA=PC,OB⊥AC,

则AD=CD=1/2AC=1,∠PAC=∠ACP=30°,∠ABD=1/2∠ABC=30°,

∴PD=AD·tan30°=√3/3AD=,BD=√3AD=√3,

∴PB=BD﹣PD=√3﹣√3/3=2√3/3.

故答案为:2√3/3.

【点评】

本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、三角函数等知识;熟练掌握等边三角形的性质是解决问题的关键.

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