中学数学,怎么样才能让知识系统起来?

这是公众号“世界重启”计划的第三篇。我将花费一段时间,在写新文章的同时,对过去的转载文章进行删除,对原创文章进行修改。因为时间久远,我的很多文章已经淹没在庞大、繁杂的历史信息库中,而且很多问题都是常思常新,如今我回头看去,会有不少新的感受与方法。
同时,通过这次整理,我也想建立一个条理清晰的文章分类导航系统,从而帮助读者快速定位到自己想要寻找的内容。

今天有一位同学,在私信里问我,总是感觉自己对高中数学的知识掌握不够到位,需要使用某个定理、公式的时候,要么想不起来,要么不知道用哪个。

如何把中学的数学知识系统化起来?

我想了想,并没有马上回答。

因为这个问题其实挺大的,一时半会说不太清楚,觉得还是写一篇文章来回答吧。

什么是知识的系统化?

我个人觉得,就是用自己的方式,把知识组织起来,建立一个知识网络,便于记忆和调用。

知识的系统化是一个过程,而不是一个结果。

它的建立不是一天两天就可以完成,而是需要通过大量的练习、思考、总结,具体到中学数学中,就是不断学习,不断有新的收获,不断的实践,发现新的经验和知识,不断的补充,才能慢慢成形。

知识系统化的好处是什么?

想象下,当你想要在书架上找一本书,是分门别类的摆放时便于寻找,还是乱七八糟的摆放时便于寻找呢?

知识的系统化,也可以认为是知识的网络化,具体到数学,就是将公理、定理、性质、公式,与它们所对应的题型对应,将典型题型与解法对应,将知识之间的联系构建起来。

这样当你在解题时,不管是判断题型,寻找解法,亦或是进行思考,对于知识就能做到信手拈来。

那么,如何将知识系统化呢?

首先,你要有一个大框架,对于这一章的知识编排有一个整体的认识。

这一块知识由几大块构成?每一块之间有没有什么联系?这一章整体与其他知识是否有联系?

比如三角函数这一块,它分成三大部分:

三角函数、三角恒等变形、解三角形。

三角函数包含三角函数的定义以及图像和性质,以及三角函数图像的变换。

三角恒等变形包含基本关系式、和差公式、二倍角公式,以及由它们引申出来的其他公式。

解三角形包含正弦定理、余弦定理和三角形面积公式。

以上这是大框架。

然后你需要往里面填充具体的知识。

比如三角函数的定义以及图像和性质这一部分内容。

前置的知识准备:角的推广和弧度制;

主体知识:

1、正弦、余弦、正切的定义以及与之相关的诱导公式;

2、正弦、余弦、正切函数的图像和性质;

3、三角函数图像的变换。

这其中,根源性的概念就是正弦、余弦、正切的概念——角的终边与单位圆交点的坐标值。

由这个定义,我们就能发现,三角函数的正负是与终边位置有关。

同时由三角函数的定义,我们可以利用数形结合、对称性,得到诱导公式。

同时我们也可以根据这个定义,得到周期性——因为终边相同的角三角函数值必然是一样的。

甚至我们也能够发现,在研究三角函数的图像和性质时,周期是贯穿始终的一个工具与观点。

这样我们就用定义,将相关内容勾连了起来。

而当我们得到三角函数的图像和性质之后,研究的方法、遇到的题型,其实是和之前基本初等函数没有太大的区别,甚至研究方法都是一样的——都是结合图像,研究单调性、奇偶性、周期性、对称性,题型都是解不等式、求最值、判断单调区间、函数与方程问题,无非把研究对象从二次函数、指对数函数变成了三角函数而已。

这就是把三角函数的图像和性质,归入函数图像与性质研究这一大框架中了。

把知识整理出来之后,需要继续丰富知识结构。

这个时候需要做的,就是开始总结整理题型以及他们所对应的解决思路。

要知道,每一个知识点,对应的题型都是有限的。

举个例子,我们刚刚说了三角函数,那么与三角函数的图像性质有关的基本题型有哪些?

解不等式、求值域、求单调区间、求函数零点......

解决这些问题的基本思路是什么样呢?

数形结合、整体思想、运用周期性......

到这一步,只是大致把知识体系的大架子构建起来。

还需要继续向里面填充内容,比如某些特殊的题型,特殊的技巧,易错点......等等。

我们用几张图来直观的展示一下吧。

比如一开始,函数、三角函数、数列、导数、不等式,分居于高中数学教材的不同位置。

但实际上这些知识之间的联系非常紧密——数列就是特殊的函数,不等式与函数结合紧密,导数是研究函数性质的工具,三角函数是函数中的一类。

于是,我们就以函数为中心,勾连起它与其他章节。

其实函数以外的各章之间,也有很多联系,比如三角函数与不等式,就通过解三角不等式结合在一起,这两年,以三角函数为背景的导数问题也屡见不鲜。

这就是通过具体的题型,把不同章节的知识有机的结合在一起。

知识系统的建立,是一件很漫长,很复杂的过程,不能一蹴而就,只能慢慢学习,在不断的学习练习过程中,对于题目进行有意识的思考总结。

当然也不要完全的闭门造车,可以通过教辅书、APP、老师的讲解来先看,先学,逐步积累,然后自己尝试着在纸上用思维导图的形式去构建,之后再不断的向里面加入新的内容。

同时在做题的时候,加强反馈,面对一道题时刻思考,这道题考察什么知识,用了什么技巧,不断地应用,从而更加熟练。

如此而已,并不神秘。

END

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