圆锥体积的新算法？ ——一道练习题的教学实践与思考

（本篇短文是《小学教学-数学》杂志“话题讨论”专栏的应征之作，发表于该杂志2017年第5期）

宋老师的这个问题让我想起了几年前遇到的同类问题，以下是当年的教学小记：

【习题呈现】

六年级下册第二单元“圆柱和圆锥”《基础训练》第12页“拓展空间”第1题：

【教学过程与思考】

本题常规的解决方法是：以旋转轴的直角边为高，以另一直角边为底面半径，运用圆锥计算公式算出体积。即：V=3.14×8²×6×1/3=401.92（分米³）

在交流解法时，生₁提出另一种解法：直角三角形的面积乘圆锥的底面周长！

师：你的根据是什么？

生₁：学习圆柱体积计算时，记得陈老师说过，任何“长相均匀”“上下一般粗”的立体图形，它的体积都可以用“底面积×高”来计算，比如圆柱、长方体、正方体。这样的话，我们也可以把△ABC看作底，它旋转一周得到圆锥，圆锥底面周长可以看成以△ABC为底的立体图形的高，这时候这个立体图形是“均匀的”，可以用“底面积×高”来算它的体积，也就是△ABC的面积×圆锥底面周长。

师：生₁的联想能力很强，思维的创造性更强，他为我们提供了另外的思考角度，但关键的问题是，圆锥体是“均匀的”吗？大家来讨论讨论！

生₂：圆锥体应该不是“均匀的”，圆柱体才是“均匀的”。

生₁：从以前的观察角度看，圆锥体很明显上下不一样粗，不是“均匀的”；但是，现在换个角度，以△ABC为底，以圆锥底面周长为高，它就是“均匀的”。

生₃：生₁讲的好像有道理哦，可是我们当时讲的“上下一般粗”，好像不是你讲的这样子啊！我们是一下子上来下去，而你讲的是旋转，就是不知道旋转算不算？

师：算不算呢？生₁的算法到底对不对呢？

生₄：我提议大家就用他的算法算出结果，看看到底行不行。

师：就是！事实胜于雄辩，大家算算看！

一会儿结果出来了，生：V=（8×6÷2）×（3.14×8×2）=1205.76（分米³），不对！这种算法不行！

生₁神情沮丧，低头不语。师：虽然结果不对，但是生₁的探究精神值得我们学习！现在，我请大家深入地想一想，难道他的解法就没有正确的成分吗？

同学们陷入沉思，有的还在本子上写写画画……

师：现在，再请同学们在小组里说说议议，看有没有新发现。

全班交流，生：生₂的解法也有合理的一面，只要将这种解法的结果除以3或乘1/3就可以得到正确答案，即：1205.76×1/3=401.92（分米³），我们认为相差的3倍，就是“直上直下”与“旋转”的差别。至于为什么会这样，我们还不知道。

师：你们的研究很有深度，很有效果！这个暂时不知道的“为什么”会提醒和激励我们继续学习数学，大家不妨做个有心人，看看什么时候能彻底搞懂它，加油！

以上的练习教学，生₁试图用运动的眼光把圆锥转化成“均匀的”立体图形，从而用“底面积×高”求体积，他的探究虽然没有成功，但是这种创造性思维却“价值连城”。特别是由此引导学生深入研究，加深了他们对“均匀的”立体图形的认识，感受数学的无穷奥秘和乐趣，我不失时机又点到为止地渗透“祖暅原理”以及球的体积计算等学生以后将学习的数学知识，将学生的数学学习引向更加广阔的天地。