小教研｜喂，重新认识一下，我叫“”双曲函数“”
什么叫双曲函数呢？
其实，
因为大学没有好好学的原因，
真正的双曲函数，
还真的是不太明白的。
今天我要讲的双曲函数，
其实再简单不过，
相信大家看到下面这个函数就应该明白了。
嗯，
不就是双勾函数嘛！
又叫双飞燕，
还有人叫耐克函数的。
耐克函数！
其实真的是挺形象的。
当然，
不能忽视的是，
这些说法，
都是源于函数中系数同号时的叫法哦。
如果系数异号，
就不再是双飞燕，
耐克也没了，
因为它的图像会变成下面这个样子：
所以，
为了统一起见，
我把它们都统称为双曲函数。
那么，
究竟为什么可以称它们为“双曲函数”呢？
说到双曲，
当然会想到双曲线了。
关于双曲线，
在中学数学中，
涉及到它有两处：
反比例函数和圆锥曲线。
还记得下面这个反比例函数么？
记得当年在初中，
它的图像就叫双曲线的。
而反比例函数，
其实就是我所说的，
双曲函数中a=0时的情形。
那为什么，
它的图像叫“双曲线”呢？
那就得说到圆锥曲线中的双曲线了。
其实，
圆锥曲线中的双曲线，
已经不是函数了。
因为它的方程，
已变成这个样子：
显然的，
因为出现了平方，
x和y之间已不再具备函数关系了。
但是，
如果细心比较，
你一定会发现这个双曲线，
其实和反比例函数图像是一样的。
看到没，
将反比例函数图像，
绕对称中心逆时针旋转45度，
就得到圆锥曲线中的双曲线了。
这样就可以肯定，
反比例函数的图像，
确实真的就是双曲线！
是真的就是，
而不是凑和着叫的。
因此，
对于反比例函数，
它也是有焦点、焦距、实轴和虚轴的哦。
要解决这个问题，
还是要通过对图像的对比。
其实，
从两个曲线的关系就能看出，
直线y=±x是双曲线的两条对称轴，
而x,y轴便是双曲线的两条渐近线了。
渐近线互相垂直，
那反比例函数的双曲线，
应该是圆锥曲线中的等轴双曲线。
所以，
上面说的，
是反比例函数与双曲线，
图形之间的关系。
那么对于函数
能不能从数量关系上去说明，
它的图像，
也真的是双曲线呢？
从反比例函数的解析式可以看出，
曲线上任意一点P(x,y)，
其横纵坐标x,y的乘积一定为定值。
因为x,y轴其实是，
该双曲线的两条渐近线，
所以对于这个结论，
更规范点也可以这样理解：
双曲线上任意一点，
到两条渐近线的距离之积为定值。
那么，
圆锥曲线中的双曲线，
是不是也有类似的特征呢？
更进一步的，
这个反谓的双曲函数
会不会也具有类似特征？
其实，
通过证明可以发现，
圆锥曲线中的双曲线，
与反比例函数图像一样，
也具有同样的性质。
这时候，
其实我都想大胆地，
给双曲线一个重新的定义了！
若两条直线相交，
则平面内，
到两条直线距离之积为定值的，
点的轨迹叫双曲线，
这两条相交的直线叫双曲线的渐近线。
在这个定义下，
我们可以深入些，
探讨双曲函数是否也具备相同的性质。
因为x≠0,
而且当x→∞时，y→ax,
所以直线x=0和y=ax就是曲线的
两条渐近线了。
看见没？
其实这个双曲函数的图像，
也就是双曲线被渐近线压缩后的结果。
也就是双曲线经过了伸缩变换得到的了。
虽然有些变形，
但毕竟来源于双曲线。
但是从数量关系上来说，
它是否也符合上面双曲线的新定义呢？
嗯，
果然啊！
在证明过程中，
并没有考虑系数a,b的符号情况，
所以a,b异号时，
结论显然也是成立的。
鉴于这样的结果，
无论从图形的特征，
还是数量关系的相似性，
称它为“双曲函数”，
应该都是再确切不过的了。
因此，
对于函数
以后可以放心地称它为双曲函数了。
而且根据系数正负的不同，
双曲函数的图像，
大概分为下面几种情况。
而下面这两种，
系数a=0时的情形了，
就是反比例函数的图像。
这时的双曲线，
也真的是圆锥曲线中的双曲线。
只是做了旋转变换而已。
今天，之所心说到这个话题，主要源于两个原因。
一是确实这个函数在高中阶段，实在是太常见了，在考试或做题时，稍不注意就见到了它。
其次是因为很多同学对于这种函数的不熟悉，我想主要还是因为老师们没有系统的做过介绍。
在2020年的最后一天，推出这期内容，希望无论是对高一新生，还是其他年级学生，都有适当的作用。