“有温度的数学”——“学”与“教”的艺术
“有温度的数学”——“学”与“教”的艺术
小数点儿5255
回想起去年上半年近三个月的居家线上教学，老师们都发现散点知识表面推进，深入理解难以抵达，总有隔靴搔痒之困。教师无法组织操作活动和思维的深度互动，很难同步看见学生真实的学习痕迹。这也正好质疑了“学为中心”流派的有效性，抛开线上教学学生不能有效合作互动，就是在当下的一些数学课上，课前一张学习单，课堂上，四人小组内轮流讲解。教师象征性地抛几个问题追问一下就结束了，老师觉得这样的课很好上，而且理念新，“符合以学为中心的要求”，如果教真的退场，学何以至深呢？。一个是看不见“学”，“教”不上手。一个是看得见“学”，却看不透“学”，“教”不到位。那么以学为中心的数学课堂，教该怎样入场呢？
一、“教”在设计中，让“学”的内容更精粹
1设计主问题，以一个问题覆盖多个主题
从某种意义上说，“教什么”比“怎么教”更重要。主问题的设计直接影响学生学习的内容、学习的进程和学习的品质。主问题首先要有大空间、有适度挑战性，在绝大多数学生的最近发展区。主问题的分析与解答还要便于学生用自己的方式表达，满足不同学生的个性化思考。例如，我执教《用字母表示数》一课，设计了一个主问题：丁丁每天坚持往储蓄罐里存钱，我们帮丁丁记个账。第1天的钱数是2元，第2天是4元，第3天是6元。（PPT依次出现8、10、12、14、16……）（如图1）1天、2天、3天……天数在不断变化，每天的钱数呢？你准备怎样记账？比谁记得准、比谁方法好？先独立思考，再在小组里交流。“比谁记得准，比谁方法好？”这个大问题很开放，也很有挑战性，不同思维水平的儿童都能自由表达自己的数学语言。教师经过巡视发现学生主要有以下几种想法（如图2）：从文字叙述到列表呈现，再到用两个不同的字母，最终呈现用n×2表示数，对比PPT上满屏的数，儿童感受到一种视觉和思维的冲击，初步感悟到可以用字母概括一组变化的数，感悟含有字母的式子不仅可以表示数，还可以表述数量关系。此外，还自然渗透了函数思想。用最少的素材，努力覆盖多个主题，思维含量特别大。
2设计动手做，从一个活动挺进深度理解
没有“抽象的儿童”，没有抽象的儿童数学学习。儿童的数学学习在身体、心智和环境三者构成的认知系统中自由生成、充分展开、自觉内化。教师应精心设计动手做，带领学生开展具身体验，帮助学生获得数学理解与知识应用。这个道理老师们都懂，但是很多青年教师都很怕上有动手操作的课。一大堆操作材料，容易杂乱无序。汇报的环节也很难组织，在学生一边演示操作一边汇报的过程中，暴露出的关键性问题一滑就过去了，得不到全体学生的高度关注。这就体现出教师“教”的必要性，高效组织操作活动，让一个活动发挥出最大的学习效益。教师引导学生“做中思”，通过观察、操作、交流，启发思维，推进对数学知识的认识，促进深度理解。比如教学《正方体展开图》，我请学生从网上购买有磁性的正方形玩具，名叫磁力片。学生把它带来玩了近一节课。先围成一个正方体，然后把6个正方形展开。围、展开、再围、再展开……在一次次把玩中，加深对立体空间的感知。只有积累了厚实的操作经验，空间想象能力才有建立的可能。玩了20分钟后，全班收起磁力片，静默1分钟。安静的课堂上，学生在整理思绪。接着，我摆出5幅平面图，进行头脑风暴：（1）这些平面图形都能围成正方体吗？如果可以围，是否存在规律？（2）哪些图比较复杂？如果你觉得有困难，可以拿出磁力片进行验证。（3）自由组成学习小组，展开组内交流。孩子们纷纷离开位置，自由组成学习小组。有的小组在空中比划，描述发现的规律。这些小组的学生学习力都很强，我介入的问题是“为什么存在这样的规律？”有的小组一边摆，一边画出展开图。我介入的问题是“老师这里并没有画出所有的展开图情况，你们能根据这几幅展开图进行推想吗？”有的小组用磁力片在逐个验证，这几个学生学习能力较弱，我鼓励他们“能不能摆完磁力片围了围之后，再闭着眼睛想象一下？”课堂的最后，我出示一个正方体展开图，指定一个面是下面，请学生确定其他面的位置。先想象，再验证。
3设计练习题，让一道好题承载综合提升
单一而机械的“题海战术”浪费儿童生命。我们越来越认同“以少胜多”的练习设计。一道趣味性强、综合性强、活动性强、人文性强的数学练习越来越受到学生的欢迎，因为数学学科知识的壁垒被打破，学生在做数学题的过程中调用的知识经验是丰富的，感受到的练习情绪是有意思的。我们提倡，以一当十，宁舍十道庸常题，不忘设计一道好题。例如，下面这道题，融进了万以内数的认识、大小比较，有意识培养学生的数感和量感，蕴含着丰富的数学思维。同时自然地渗透了品德教育，引导学生关注生活世界、做一个有责任感的小公民。
再比如一年级的练习《有趣的数学画》。亲爱的小朋友，请你读准拼音，认真阅读，尽情地创作吧！第一步：拿一张A4纸，剪下一个最大的正方形做画纸。第二步：在画纸的正中间画一个图形，它是什么图形呢？3个小朋友正在做介绍呢！小美说：“这个图形不是曲线围成的。”小华说：“它是用圆柱积木印出的圆形。”小东说：“这是由11根小棒去掉8根后围成的图形。”3人中只有1人说了假话，你知道是什么图形吗？画一画吧！第三步：想一想，1捆小棒最多可以摆几个这样的图形？把它们一个个画出来。第四步：想象画画，把纸上的图形变成一幅有趣的画，比一比谁最有创意。这个活泼生动的数学练习立足学科综合的视角，融合了文本阅读、退位减法计算、简单的推理、动手操作、创意儿童画。培养儿童用数学眼光关注生活、用数学思维解决生活问题的习惯。充分发挥学生的多元智能，让每一个学生都能有所表现。
二、“教”在互动中，让“学”的过程更进阶
如果缺失与学习同伴的深层互动，学生很容易拘囿于自己的认识，其思维成果的数量和质量都很有限。教师运用“刨根究底”“煽风点火”的策略组织课堂互动，看见学习过程的真实痕迹，看见个体思维的生长和群体智能的激发。
1刨根究底——“为什么不是那样？”
学习，不仅要知其然，还要知其所以然。不妨跳出该知识点，横跨到与之相近、相似的其他知识点或者未知地带，对比分析“为什么不是那样？”，从而凸显该知识点的本质和原理。例如，我教学《分解质因数》。学生都能够顺利地掌握分解质因数的方法，总觉得学生的思维少了一点激烈的碰撞，能否与教材文本来一次互动？课堂接近尾声时，我追问：为什么教材只教给我们如何把一个合数用质数相乘的形式进行分解？有质因数的概念，怎么没有质加数、质减数、质除数的概念？这个问题抛出后，所有的学生都愣住了。过了一会，有人说可能到初中会学到吧？有人提议干嘛等到初中呢，不如现在想想看。通过举例，我们发现把一个合数分解为几个质数相加、连减、连除的形式，算式不唯一。只有分解为质数相乘的形式，算式才是唯一的。学生还提出，在问题解决的过程中存在大量与质因数有关的实际问题，所以质因数是最有用的。至此，学生对分解质因数的认识超越了“会分解质因数”的技能层面，变得更为立体和丰满。很多学生对数的结构产生了浓厚的兴趣，寻找相关的数学科普读物阅读。
2煽风点火——“他的观点一定对吗？”
不少学生在课外提前学过《分数的意义》，知道单位“1”的概念，也会做练习题。是否真正获得数学理解了呢？笔者在课前学习单上抛出问题：为什么单位“1”的1要加双引号？课堂上的讨论非常热烈。陈正非：“因为单位1是表达一份或几份的数，不仅仅只是一份，所以要加双引号。”梅书颖：“是的，这个1是平均分成若干份，而不是1份。”很显然，这两个学生把单位“1”和分数的意义混为一谈了。是立刻指出问题，还是暂时不说？此时教师介入为时过早，还是静观其变。郭予萱：“我认为单位“1”就是指一份量，1加上引号是因为它不是代表数字1，而是一份量。”郭予萱的观点立刻获得支持。尹叶馨：“单位“1”是最原始的一份，其他的数是在单位“1”的基础上增加的。”魏辰睿：“单位“1”是最原始的一份，其他的数是在单位“1”的基础上变形的。”王逊娴：“我觉得单位“1”是设定了一个标准，不管“1”的单位是什么，只取一个单位的量，比如“1”的单位是米，那么就是1米。”我瞄准时机煽风点火：“单位‘1’表示一份量到底是什么意思？他们的观点一定对吗？”有同学说：“单位‘1’表示一份的话，把单位‘1’平均分成若干份，取其中的一份或几份的数叫分数。两个都是一份，搞不清了。”确实，学生所说的“最原始的一份”，其实是想表达“它一个计量标准”的意思。而其他学生对于“一份”的理解，更多是一个分数单位的意思。笔者再次煽风点火：“站在小朋友的角度，两个‘一份’确实有点容易混淆，难道就没有更具体、更让人一听就明白的解释了吗？”胡鹏霖：“因为它不是单纯意义上的数字1，它代表的可能是一条路，一个工程等等，是不确切的，因此要加上引号以示区别。”陆一茜：“单位‘1’可以表示许多东西，区别于自然数1，所以要加双引号。”孙雨馨：“单位“1”除了可以表示自然数1表示的意义之外，还可以表示许多物体。”
3水乳交融——“人人都想讲，个个都好学。”
教师要教会学生开展生生互动的方法，重视培养学生的自组织能力，“人人都想讲，个个想接招”。首先，小组内负责任的交流，这一点尤为重要。当下的数学课离不开小组交流，组长带领组员的组内学习坚决不能流于形式，坚决抵制假探究、假交流、假合作！越是以学为中心，以小组学习为载体的课堂，教师其实越需要审时度势，随时随地洞察瞬息万变的课堂走向。1号组内发生了什么？组长的组织是否过于强势？有没有关照比较弱的那个组员？2号组内的想法有没有通过交流获得增值？3号组现场提出的问题，在什么时机呈现？在对各小组的巡视中，我应该相机做哪些介入……这样极具生成性的课堂，教师怎么可能轻松？它对教师的“教”提出了更高的要求和挑战。其次，小老师自组织的全班交流也应该有进阶。台上的小老师不像过去那样把自己的想法一讲到底，而是像主持人那样调动台下同学的参与热情，“我和他的想法有什么不一样？” “谁有观点谁亮剑！” “谁来接着讲？”“谁能总结一下？”等。台上台下高质量互动，个体思维不断被点燃、冲撞、转变、吸纳，变得更加有深度、有力量。在全班互动的过程中，学生已经掌握得比较好的，教师少讲或不讲；学生的理解存在偏差，教师要做凸显和强化；学生集体卡壳陷入困顿，教师要适时点拨和引导。教师还要适时追问，使学生感悟数学知识间内在联系、发现数学规律的模型、初步感悟基本的数学思想方法。当一个班级的学生经过长期的训练，就能知晓课堂互动的方式和节奏。孩子们不会因为没有被请到回答一个简单的问题而遗憾，因为他们知道在什么时机可以“亮大招”：是众人皆醉我独醒的“我有质疑”；是积跬步以至千里的“我有提醒”；是稻花香里说丰年的“我来总结”；是山外青山楼外楼的“我还知道”……在这样美好的课堂里，老师教着教着，已然是一个长大的儿童了。教着教着，“教”和“学”已然水乳交融了。