中考数学压轴题分析：正方形手拉手

本题背景为两个共点的正方形，其中一个正方形不断旋转产生的问题。

题目非常常见，值得研究。

本文题目选自2020年阜新市中考数学倒数第2题，难度一般。

【中考真题】

（2020·阜新）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．
（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；
（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DHCH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．

【分析】

题（1）利用SAS来证明△BCG≌△DCE即可．

题（2）①根据结论，可以考虑用截长补短的方式构造辅助线，也可以根据√2的条件进行构造等腰直角三角形，再证明即可。

或者延长HE，在下方构造等腰直角三角形也可以。

题（2）②中的条件为∠DEC=45°，由于旋转一周，所以有两种情况，需要分类讨论。

图1

图2

利用题（1）的结论BG与DE垂直且相等，然后设未知数可以利用勾股定理求得结论，难度不大。

【答案】（1）证明：如图1中，

证明：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，∠CBG＝∠CDE，
∵∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠HBE+∠BEH＝90°，
∴∠BHE＝90°，
∴BG⊥DE．

（2）①如图2中，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．

由（1）可知，∠CBK＝∠CDH，
∵BK＝DH，BC＝DC，
∴△BCK≌△DCH（SAS），
∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，
∴∠KCH＝∠BCD＝90°，
∴△KCH是等腰直角三角形，
∴HKCH，
∴BH﹣DH＝BH﹣BK＝KHCH．

②如图3﹣1中，当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．

由（1）可知，BH＝DE，且CE＝CH＝1，EHCH，
∵BC＝3，
∴BDBC＝3，
设DH＝x，则BH＝DE＝x，
在Rt△BDH中，∵，
∴，
解得x或（舍弃）．

如图3﹣2中，当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．

设DH＝x，
∵BG＝DH，
∴BH＝DH﹣HG＝x，
在Rt△BDH中，∵，
∴，
解得x或（舍弃），
综上所述，满足条件的DH的值为或．