你喜欢数学吗？
今天音乐老师要客串一下数学老师，和大家讲讲关于音乐与数学直接的联系！没错！这将是一节你从未听过的数学课。
Do-Re-Mi Maria;The Children - 音乐之声 音乐剧原声带
“do, re, mi……”随着这几个简单的音节，我们开始了人生的第一堂音乐课，数字简谱以1、2、3、4、5、6、7代表音阶中的7个基本音阶，读音为do、re、mi、fa、sol、la、si，休止以0表示。
音乐中的数学
孩子们可以看得懂的《音乐中的数学》
提到数学与音乐的关系，我们所能想到的第一个有关音乐与数学的结合，也许就是这7个基本音阶了。但你可曾想过，这些音阶是按照什么规律排列的呢？让我们回到2500年前，追随大名鼎鼎的古希腊数学家毕达哥拉斯的脚步，看看他是怎么解答的吧。
毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家和数学家，他认为“万物皆数”“数是万物的本质”，是“存在由之构成的原则”，而整个宇宙是数及其关系的和谐体系。
众所周知，毕达哥拉斯开创了自己的数学学派，该学派信奉数是万物的起源，因此宇宙和谐的基础应当是完美的数的比例，而音乐之所以给人以美的感受，很大程度上是因它有着一种和谐。在这种意识的启发下，毕达哥拉斯用不同的乐器做了许多的实验，进而发现声音与发声体体积有着一定的比例关系。而后，他又在琴弦上做了试验，发现只要按比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程，而它们彼此间是存在着比例关系的。
毕达哥拉斯又进一步进行了实验。经过更多的实验和推算，毕达哥拉斯发现，
当弦长比分别为2∶1、3∶2、4∶3时，发出的音律最为和谐。
这就是我们后来所使用的“五度相生律”
美的东西，总是简单而和谐。
依据五度相生律产生的基础音阶构成的旋律，按照任意的方式组合，都有各自的美感，而将全部半音阶推算出来后，旋律的紧张度和动力性会得到增强，更能产生旋律之间动态的美感和张力。
正如莱布尼茨的名言所说：“音乐是数学在灵魂中无意识的运算。”音乐正如有情绪的数学，而数学则像最纯粹的音乐，乐音激荡，而数字翩跹，音乐与数学恰似人类心智开出的两朵玫瑰。就让我们沉醉其中，纵情感受它们的魅力吧！
达·芬奇，出生于意大利的文艺复兴时期，他涉及的领域：包括素描、绘画、雕塑、建筑、科学、音乐、数学、工程、文学、解剖学、地质学、天文学、植物学、古生物学和制图学。他被人们称为古生物学、植物学和建筑学之父，被广泛认为是世界有史以来最伟大的画家之一。
达·芬奇辉煌的一生中有许多作品，涉足领域也是非常多，尤其为人称道的就是他在绘画领域的造诣。
无论是《维特鲁威人》还是《蒙娜丽莎的微笑》，后世对达·芬奇的都进行了详细的研究，发现作品中有许多数学规律，让人感叹数学的逻辑性与艺术直接的完美结合。可是你知道吗，达·芬奇除了在数学、绘画等方面有过人的天赋和造诣，他在米兰获得的第一份正式工作是“宫廷乐师”，他曾为皇室创编、演奏乐曲，同时也做一些关于乐器改造的工作。千百年来，研究音乐和数学的关系在西方一直是一个热门的课题，从古希腊毕达哥拉斯学派到现代的宇宙学家和计算机科学家，都或多或少受到“整个宇宙即是和声和数”的观念的影响，开普勒、伽利略、欧拉、傅立叶、哈代等人都潜心研究过音乐与数学的关系。数学几何与哲学相契携行，渗进西方人的全部精神生活，透入到一切艺术领域而成为西方艺术的一大特色。圣奥古斯汀更留下“数学还可以把世界转化为和我们心灵相通的音乐”的名言。现代作曲家巴托克、勋伯格、凯奇等人都对音乐与数学的结合进行大胆的实验。希腊作曲家克赛纳基斯（1933~）创立“算法音乐”，以数学方法代替音乐思维，创作过程也即演算过程，作品名称类乎数学公式，如《 S+/10-1.080262 》为10件乐器而作，是1962年2月8日算出来的。马卡黑尔发展了施托克豪森的“图表音乐”（读和看的音乐）的思想，以几何图形的轮转方式作出“几何音乐”我们这个世界可以由音乐的音符组成也可以由数学公式组成。”
数学是研究现实世界空间形式的数量关系的一门科学，它早已从一门计数的学问变成一门形式符号体系的学问。符号的使用使数学具有高度的抽象。而音乐则是研究现实世界音响形式及对其控制的艺术。它同样使用符号体系，是所有艺术中最抽象的艺术。德国著名哲学家、数学家莱布尼茨曾说过：“音乐，就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的。”而爱因斯坦说得更为风趣：“我们这个世界可以由音乐的音符组成也可以由数学公式组成。”
音乐中的1、2、3、4、5、6、7分别代表不同的7个音符，不仅如此，每个数字背后都与音乐有着千丝万缕的联系。
古希腊数学家尼柯玛赫早就提出“音乐是对立因素的和谐的统一，把杂多导致统一，把不协调导致协调。”简言之，便是“一”变“多”，“多”变“一”的原理。音乐上许多发展乐思的手法，如重复、变奏、衍生、展开、对比等等，有时强调统一，有时强调变化，综合起来，就是在统一中求变化，在变化中求统一。单音是音乐中最小的“细胞”，一个个单音按水平方向连结成为旋律、节奏，按垂直方向纵合成为和弦，和声。乐段（一段体）是表达完整乐思的最小结构单位。
巴洛克、古典、浪漫派音乐使用大小调调式体系，形成音阶与和声学的二元论（dualistic theory）。音符直接也有“二分”关系，所有相邻的两个音符直接都是二倍关系，比如全音符是二分音符时值的二倍，二分音乐是四分音符时值的二倍，具体看下图，音符的家族合影吧。
三个音按三度音程叠置成为各种和弦。三和弦是最常用的和声建筑材料。爱因斯坦认为不管是音乐家还是科学家都有一个强烈的愿望，“总想以最适合的方式来画出一幅简化的和易于领悟的世界图像。””数字“2”与“3”在音乐中概括了最基本的节拍类型二拍子与三拍子以及曲式类型二段式三段式；T²=D³是开普勒行星运动第三定律的数学公式，表示行星公转周期（T）的二次方与它同太阳距离（D）的三次方相等。开普勒从大量十分零乱的观测资料中发现了这个自然规律，它是那样简洁、优美，被人称为奇妙的“2”与“3”。T2=D3令人感到一种多么简洁的美感！三分损益法，比毕达哥拉斯早100多年，中国的管仲也提出了自己的音律系统，称为三分损益法。我们以笛子为例。在吹笛子时，空气柱振动，产生声音，声音的频率与空气柱的长短有关：空气柱越短，振动频率越高，音调也越高。比如我们在一个瓶子里装不同高度的水，用嘴吹瓶口，就会发现水越多、空气柱越短，频率越高。
人声天然地划分为四个声部，任何复杂的多声部音乐作品都可以规范为四部和声。我们平时所弹奏的钢琴作品的曲式结构，大多数都是“古典四方体”方整结构，即4+4+4+4…… ，4小节为一乐句，8小节为一乐段。
除此之外，我们将时值为4拍的全音符，作为音符家族的基数。
五度相生律（毕达哥拉斯律）及五度循环揭示了乐音组织的奥秘，而和声五度关系法则是构筑和声大厦的基石。
六和弦、六声音阶、一个八度之内有六个全音，常用的调是主调及其五个近关系副调。
常用的七声音阶由七个音级组成，巴洛克时期以前采用中古教会七种调式，19世纪民族乐派之后中古教会七声调式部分地得到复兴。太阳光谱由红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色组成，以牛顿为代表的科学家，曾对“七音”与“七色”之间奥妙的对应关系进行过有趣的探索。人体生理结构分为七大系统。旧约圣经中上帝创造世界用了七天，因此一个星期有七天。就连神话中的牛郎织女也选“七夕”就是农历七月初七晚上来相会。化学元素是物质世界的基础，门捷列夫发现的“元素周期表”的结构图中有七个横行，七个周期，还有七个主族，七个副族。
任何空间物体、图形都可以简化、抽象为点 — 线 — 面 — 体几何图形，显示出数理统一与和谐的美。同样任何钢琴作品也可据此进行简化和抽象。
例如：横向时间系列分为乐句 — 乐段 — 乐章 — 套曲；纵向空间系列分为音级 — 音程 — 和弦 — 和声；钢琴织体层次分为单音一单声部一声部层（或伴奏层）织体类型。各种数列广泛地应用于音乐之中，如等比数列1、2、4、8、16、32用于音符时值分类及音乐曲式结构中；斐波拉契数列用于黄金分割及乐曲高潮设计中。
斐波拉契是13世纪意大利数学家，他于1228年提出一个兔子繁殖数问题：“如果有一对小兔，两个月后就能生，每月生一对，生下来的小兔也是如此，如果都不死，一年以后有多少对？”打从那以后，人们越来越注意这个数学题的奇妙答案：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……这便是奇妙的斐波拉契数列。这个整数列有三个特点：
（1）任何相邻两个数，其第一个数与第二个数的比值约等于0.618，相邻两个数的位置越靠后，比值越接近，称为黄金比率。
（2）任何相邻三个数，其中前两个数之和等于第三个数，如1+2=3，2+3=5，3+5=8，依此类推。
（3）任何相邻三个数，其中第一个数和第三个数的乘积与第二个数的平方相差1。
斐波拉契在音乐中得到普遍的应用，如常见的曲式类型与斐波拉契数列头几个数字相符，它们是简单的一段式、二段式、三段式和五段回旋曲式。大型奏鸣曲式也是三部性结构，如再增加前奏及尾声则又从三发展到五部结构。黄金分割比例与音乐中高潮的位置有密切关系。我们分析许多著名的音乐作品，发觉其中高潮的出现多和黄金分割点相接近，位于结构中点偏后的位置：小型曲式中8小节一段式，高潮点约在第5小节左右（见本教程曲44，第一个8小节乐段）；16小节二段式，高潮点约在第10小节左右；24小节带再现三段式，高潮点在第15小节左右。 贝多芬《悲怆奏鸣曲》Op.13第二乐章是如歌的慢板，肖邦的《降D大调夜曲》是三部性曲式，拉赫曼尼诺夫的《第二钢琴协奏曲》第一乐章是奏鸣曲式，这是一首宏伟的史诗，都是完全符合这种规律。
奇奇妙妙的音乐世界里，有很多数字和数理逻辑的联系，看看下面有哪些是你熟悉的，又有哪些是和数学相关的呢？
音符在五线谱和简谱的书写方式对应中，我们用数字表示音符的音高，用短横线表示音符的长短。
音高与频率之间的关系，也有着神秘的数理关系，一起研究一下把。
数数看，中国古代的乐器编钟，一共有几组，每组又有几个呢？
音乐是艺术，更是一门科学；数学更是一门充满艺术感的科学。相信老师，用数学的逻辑学习音乐，你会看到音乐不一样的一面。如果你在学习中，探索到更多音乐与数学之间的联系，记得分享给我们。
