初二奥数精讲——第11讲 恒等式的证明（二）

一、知识点解析

1. 基本知识

如果一个等式，对其中所含有的字母取使所有代数式有意义的任何值都成立，则此等式称为恒等式。

如果一个等式，对其中所含有的字母取符合限定条件且使所有代数式有意义的任何值都成立，则此等式称为条件恒等式。

2. 基本方法

2. 基本问题与方法

证明恒等式，常可“从左边证到右边，也可从右边证到左边，还可证明两边与同一个式子相等”，其选择上述方法的原则是“从繁的一边证到简单的一边”。如果等式两边都较繁，则证明两边与同一个式子相等。特别地，证明两个多项式恒等，还可以从“次数”上考虑。如果多项是k次的，则只要证明这两个多项式在k+1处的值相等，则这两个多项式恒等。

证明条件恒等式，常可从条件入手，逐步推出结论；也可从目标入手，在目标中构造条件式中的结构，进而利用条件证明结论；还可将条件和结论同时改变，以创造运用条件的机会。选择上述方法的原则是“从容易构造出其他式子相同的结构的式子入手”。如果任何一个式子都不容易构造另一个式子，则应将两个式子同时改变。

这部分主要考察学生的对恒等式的证明的了解及掌握。是代数式部分的综合应用，这部分题型种类繁多，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1

分析：题设的条件难于直接利用，应先将它们化简。可将mn+nq=0化为比值，但要注意分母不为0，从而要分类讨论。

解答：

例2

分析：连等式，比例值等式参数求解。

解答：

例3

例4

例5

设a、b是互异的自然数，且a，b中至少有一个是偶数。求证：

一定可以表示成4个自然数的平方和。

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