数学思维之道-辩证法和辩证思维(续二)
局部模式与整体模式的辩证关系
继续辩证思维的阐述，这次讲局部模式与整体模式的辩证关系。
讲模式可能对初高中阶段有些抽象，所以先用具体的一些模式来讲。最好理解的具体模式就是相等关系、相似关系、互补关系。
这里的相似与类似、相近等词语是一样的意思，不要单纯理解为相似几何图形。
整体到局部(部分)：如果两个事物在整体上相同或相似，合情合理地设想，那它们在相应的局部也有可能相同或相似，注意这里是可能，不是一定。
局部(部分)到整体：反过来，局部(部分)相同或相似，有可能表明它们在整体上相同或相似。
整体到局部一般容易想到，因为对象和关系是完整的，没有思维障碍和门槛，但反过来，从局部到整体，要有窥一斑而见全豹，观滴水可知沧海的敏感性，小中见大，在从局部相同或相似的端倪中运用好见微知著的联想、推理、想象，或相似联想类比等思维活动。
看见一张只剩半截的纸币，想到先前的完整纸币，思维上能还原出完整的纸币，这也是补美思想，根据残缺不全的局部补出完整的整体；看到两张不完全一样的半截纸币在某处图案相同，我们应该能想到这两张纸币在完好状态时，它们可能是面值相同的两张纸币或来自同一张纸币。
相似性原理是普遍的原理之一，见百度百科，网址
https://baike.baidu.com/item/%E7%9B%B8%E4%BC%BC%E6%80%A7%E5%8E%9F%E5%88%99/11013740 。
相似性思维是数学的基本思维方法，相似也涵盖了相同，相同是一种特殊的相似。几乎每道题中都会用到，只不过大多不注意觉察它。
数学解题中，要注意识别相同或相似（这里的相似不限于几何中的相似图形），要利用好这些相同、相似来解题，例如相似三角形，在代数题中也要注意利用。
整体相同和相似一般容易识别出来。识别局部相同或局部相似相对困难一些，因为首先要有见微知著、小中见大、全局整体的思维意识和思维习惯，这种意识通常不容易具备，即便有这些意识，但小中见大的“目标大对象”可能在问题中根本不存在或隐藏在问题之中。此时需要我们见微知著、联想、溯源（反本归源/还原）、合情合理的构想&想象、试验探索、逻辑推理等思维活动把目标大对象找出，这个大对象不容易找到，这就是小中见大的困难所在。这个具体的目标大对象背后可能对应抽象的目标模型或目标模式，例如下图。
补美-见微知著-1
补美-见微知著-2
几何代数中的补美法、拼凑法、逼近法等都需要先识别出局部的相似性，也要要结合比较法或差异分析法，找出与目标对象的差异。
有时两个对象似乎不存在相同或相似性关系，但经过转化变形后就可能存在相同或相似性。
本文中的局部相同/相似，辩证思维变通下，两个局部的对象也可能存在互补或、对偶等关联关系，例如一张图片剪成多个小图片，当看到其中的两个小图片时，能重建或识别出这两小图片之间的关系以及它们与完整图片的关系。
上面讲的相等、相近、相似、互补其实都是模式（关系模式和结构模式）， 文章开头用这些具体的模式讲解是便于感性地理解，本文所讲的内容不限于这些模式。各种各样的具体模式太多了，必须要抽象才能更好地得到理性认识。抽象是数学的主要特点，本文前面讲的内容从抽象的角度描述，就是：
A1对象是A对象的一部分（或者说A1是A的子集），B1是B对象的一部分，如果A1和B1之间具有P1模式，例如A1与B1存在互补模式、A1与B1存在相等关系模式（A1=B1）、或比例关系模式（例如A1=2B1）、或A1是B1的子集，或A1与B1在结构上具有某种结构模式、或A1中的元素对象与B1中的对象存在某种模式，则合情合理地联想/设想/推测A与B也具有P1模式；或者合情合理地联想/设想/推测A与B具有与P1模式相关的P2模式。图示如下。
局部模式到整体模式-1
在局部模式到整体模式进行合情合理的联想/推测/设想过程中，一般A1是容易识别出来的或已知的/存在的，但B1、A、B可能存在也可能还不存在，要发挥主观能动性和创造力，没有就创造，也就是人为构造出缺少的对象，没有条件要创造条件。
还要注意层次结构的嵌套，A包含A1,A1可能还包含更小的对象A11，B也类似，A11和B11存在某种模式。
另一种局部模式到整体的模式见下图。
局部模式到整体模式-2
A对象初始是不存在的，我们通过小中见大把包含A1的大对象A找出来。把B是某个模型或模式，A1与B1相同或相似，或A1符合B1的模式，A对象套用和符合B模型，B可能是某个定理、公式、几何定理对应的图形模型、已知的问题等。上图中A1与B1相同或相似，不限于相同或相似模式，从抽象的角度来描述，就是A1符合B1模式。
运用举例
这里以几道数学题来熏陶训练见微知著的思维活动。
第1题 初中题
观察这题的结论，a左右两边的代数式结构感觉和学过的某些东西比较相似&接近，这就是相似联想，或者从不等式a左边或右边的代数式，见微知著地联想到我们学过的东西。
联想到什么，其实很简单，联想到一元二次方程的求根公式，要证明的结论中的一些代数式和求根公式接近(a左右两边的代数式和求根公式接近)，它们似乎是一元二次方程的两个根。
所以我们就顺着这个联想到的线索做解题突破口。是相近而不是相同，所以我们要把相近转化为相同，相同就是两者一致或两者对齐。如何变为相同，要运用比较思维和差异分析，把两个根和求根公式比较：例如c的平方-ab，和求根公式根号中的： 一次项系数的平方-4*二次系数*常数项 进行比较。得出ab前少4，其他比较省略。所以要证的结论变形如下，和求根公式一致。
根据对应，显然这个一元二次方程为
当然对这道题，一旦识别出结论中a左右两边为根，根据韦达定理也可直接构造出上面的方程。 对熟练的人这些都不需要，直接写出如上方程。
再数形结合，由方程想到关联的一元二次函数，画出函数图像，只要证明f(a)<0即可，最终的方法如下图。
这就是从局部的相似性(结论中的两个代数式和一元二次求根公式相似)到整体的相似性(这里的整体，第一个就是我们学过的一元二次方程模式：ax平方+bx+c=0, 第二个整体就是我们构造出的具体方程：x平方-2cx+ab=0)，从根的结构模式见微知著想到整体(方程)。
第二题 高中题
根据1/sin+8/cos这个部分(局部)想到完整的柯西不等式，这就是见微知著，窥一斑而见全豹。另外这道题其实用了辩证法中的矛盾分析法，因为分母中存在sin和cos不好解题，因为我们不熟悉这种题如何解，学过的知识似乎用不上，它们在分母中出现是妨碍解题的矛盾，我们要想法化解它消除它。自然而然，合情合理想地设想要用sin和cos去和它们(1/sin、8/cos)分别相乘，而这样的交叉相乘模式正是柯西不等式中蕴含的，也是向量积公式中蕴含的，所以就自然而然，合情合理地见微知著，联想到完整的柯西不等式。或者说我们的合情合理的设想与柯西不等式是相近的，匹配的，两者一拍即合就对上了，我们在思维中就这样接通了它们两者的关联通路，这就是联想思维，此题前面用矛盾分析法铺路，找出题目中产生解题障碍的主要矛盾。
本题在探索过程中，应用了待定系数法。
把这道题和前面的”局部模式到整体模式-2”图对照， 图中的B就是柯西不等式的左边，如下图，柯西不等式在这里是一个模型。
第一题也可如此对照体会一下。
第三题 初中题
这道题，看到40与20的数量关系，40是20的两倍，自然而然，合情合理地延长CB到E，
令EB=BA。如下图。
延长CB，令EB=BA，可得AE=AD=BC,EAB为两个20度的等腰三角形，但下一步似乎就没有路了，暂时是个僵局或死局。
此时我们运用矛盾分析法分析僵局的原因，主要原因是题目中的几何图形对象之间的数量关系、位置结构关系不呼应，不协调，结构不良，结构别扭变态(其结构模型不是我们熟知的几何模型，匹配不上熟知的几何模型或与我们熟知的几何模型差异较大)、它们的关系是疏离的、有隔阂的、别扭的，有的在物理位置上相距较远，或位置方位也不协调，和我们熟知的学过的几何模型匹配对应不上。
关系疏离不密切就好比两个人，一个在天南，一个在海北，他们自然就不容易建立关系，难以发生关系就是一个僵局，也可类比为硫酸和铁不在一块，它们自然就难以发生化学反应产生新的物质或建立新的关系，我们要想法拉近或改善硫酸和铁的疏离关系，把硫酸和铁放在一起，组合集中在一起发生化学反应产生硫酸铁。
我们作几何辅助线和各种变换，主要就是为了消除、改善、调整、沟通、转化、转移这些不好的关系和结构，打破这种无法动弹的僵局。调整变化后要能激发它们产生有益的增值反应，繁衍产生新的关系、对象、结构，繁衍产生和我们熟悉的知识相近或一致的关系、对象、结构，这样就从不熟悉变熟悉，从复杂变简单，从未知变已知，就好解决问题了。
为了改善这题的关系和结构，我们构造三角形BFC，它和三角形AEB全等。
为何想到构造BFC三角形？
作为解题的原则之一，我们要充分利用好已知条件，不能少用不能错误使用。多反问自己已知条件能怎么用，如果已经使用，要反思使用是否恰当，反问还能怎么用，能不能换另一种使用方式，有没有什么变式。
AE=BC虽然是解题探索过程中得到的中间结论，但也应该看作已知条件。这个已知条件能怎么利用，怎么发挥这个条件的作用？
另一个我们做几何题要注意几何直观，有的几何题，直观上一看，凭直觉就能猜到一些隐藏的结论、信息、关系，就知道如何做，如何做辅助线。还有就是做题中应该能得出一些规律性的经验性的东西，例如构造全等模型或正三角形模型、构造相似模型等通常能沟通、改善、调整、转化几何题中的不良的关系和结构，也能和我们熟悉的几何模型对应上，这是改良性的变化。因为通过这些构造能改变几何图形中的结构和关系。
此题想到这样构造的端倪(发端、线索、蛛丝马迹)就是AE=BC，AE、BC是微小的，AE=BC就是微小的局部相等，我们基于局部相等进行见微知著的想象，设想出整体相等：三角形BFC和三角形AEB全等。
在草稿纸上把BFC画出来，马上感觉到不一样了。整个死局变活了通透了，豁然开朗，峰回路转柳暗花明，因为产生了很多有用的增值反应，例如产生了ABF正三角形结构和AFC等腰三角形，相应地产生了一些有用的便于解题的角度和角度关系。就是这样改善调整了不良的关系和结构，很多东西都贯通了，都接上了。此题构造出BFC就是画龙点睛之笔。构造三角形BFC，也可用构造正三角形ABF替代，它们具有异曲同工之效。
可见我们利用见微知著的想象，构造三角形BFC，回答了上面的疑问：这样构造，这样变化就利用好了AE=BC这个条件。
合情合理的见微知著，要有根基或端倪，也就是要具备条件基础，还要有目的。此题的条件基础就是AE=BC，没有这个成立的条件，显然是无法见微知著构造出与AEB全等的BFC的。再比如，在几何图形中进行旋转变换，一般是存在两条相等的线段，且它们共一个顶点，没有这个条件基础，一般不会考虑旋转变换，当然也有例外，例如三角形费马点问题中的旋转变换，在前面的文章中分析过费马点问题中的旋转变换。
总结
要洞见、提炼、识别出局部对象之间的(关系、结构)模式：例如局部的相等、相似、相反、互补关系等，再合情合理地进行见微知著的联想、想象、类比等思维活动，从局部到整体，小中见大。
见微知著的思维活动，也是前面一片文章<研几入微的数学思维>所讲的，要研几，几就是细微的对象、细微之处或细微的迹象线索、动向，几也通'机'，虽然小但也是机枢，是关键，是解决问题的转机、敲门砖突破口，不可不察。
人类一思考，上帝就笑了，这是对胡思乱想之人。要领悟思维之道。运用之妙，存乎一心。
数学是锻炼思维的体操，也就是锻炼思维能力，没有比用数学更好的了，但现实情况是数学教育中其实没有真正到位的数学思维的熏陶和锻炼，更没有思维。
教材上没有思维学的基本内容，都是各种知识，例如勾股定理、方程、函数、向量等这些知识。有几个学生能对联想、类比、抽象、逻辑思维、形象思维、辩证思维等思维形式真正说出一些道道来的？这些都是思维的基本形式。
能真正明白思维形式和思想方法的区别与联系的？
思维学是数学思维的基础，这个基础都没有，遑论数学思维，怎么可能真正锻炼学生的数学思维能力？
数学难题，一般是综合考察数学知识和思维能力，对熟悉数学知识的学生，实际上是考察思维能力，不是数学知识。
对这些题，做不出来的学生一看答案，所用的数学知识都熟悉，都学过，但自己就是想不出来，问题在哪？造成这种思维障碍心理障碍的原因在哪？
原因是多方面的，有学生个体的各种原因，但一个普遍的原因就是课堂上和教材上没有真正的数学思维熏陶训练，绝大多数时间都是在输灌僵硬的知识、雕虫小技、口诀，零星的挤牙膏式的一些所谓的思维熏陶训练，学生靠机械刷题补思维锻炼的短板或提高考试题型命中率。缺少对灵动的思维进行启发/点化/引导这些思维熏陶训练活动，思维不开窍，缺少悟性。思维不灵活不变通不严谨不缜密不辩证不全面，思想空洞不深刻，当然就有各种思维障碍，当然就不知道怎么想问题，想什么问题。
最美的花是思维之花，要练好思维的内功心法，悟思维的大道和数学思维的大道，绽放美丽的思维之花。