最脆弱的素数
素数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。1978年，数学家发现了一种十分“脆弱”的素数，任意改变其一位数就会变成合数，它们被称为“易损素数”。近期，数学家找到了更多的“易损素数”，而这一概念也被再一次扩展……
撰文 | Steve Nadis
翻译｜周郅璨
审校｜王昱
让我们来看看以下几个数字，试试看能否发现它们的特别之处：294001、505447、584141。
你可能会注意到它们都是素数（只能被自己和1整除），但其实这几个数的不寻常之处远不止如此。如果我们选取这几个数字中的任意一位进行更改，新得到的数字就成为了一个合数，比如将294001中的1改成7，那么得到的数字就可以被7整除，改成9，则可以被3整除。
这些数字被称为“易损素数”，它们是相对较新的数学发现。1978年，数学家默里·克拉姆金（Murray Klamkin）提出了这一类素数的猜想，之后迅速得到了有史以来发表论文数量最多的数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）的回答，他不仅证明了易损素数确实存在，而且证明了它们的数量是无限的。后来，其他数学家进一步扩展了埃尔德什的结果，其中就包括菲尔兹奖章得主陶哲轩，他在2011年的一篇论文中证明了易损素数之间是呈“正比例”的。这意味着，随着素数本身变大，连续两个易损素数之间的平均距离保持稳定。也就是说，易损素数并不会变得越来越稀少。
在近期发表的两篇论文中，南卡罗来纳大学的迈克尔·菲拉塞塔（Michael Filaseta）更进一步地阐述了这一观点，并提出了一类结构更为精妙的易损素数。他受到埃尔德斯和陶哲轩工作的启发，设想将一个无限长的前导零串作为素数的一部分，就像数字53和…0000053的值是一样的，那么如果改变一个易损素数前无限的零中的任意一个，素数会变合数吗？菲拉塞塔假定这些数字是存在的，并将其称为“广义的易损素数”。2020年11月，他与研究生耶利米·索斯威克（Jeremiah Southwick）共同发表了一篇论文来探究这些数字的性质。这项结果得到了乔治亚大学数学系教授保罗·波拉克（Paul Pollack）的盛赞。
显而易见，这样的数字比原来的易损素数更加难找。波拉克说：“294001是一个易损素数，但并不是一个广义上的易损素数，因为如果我们把…000294001变为…010294001，得到的并不是合数，而是另一个素数。
事实上，菲拉塞塔和索斯威克找遍了1 000 000 000以内的所有整数，也没有在十进制下找任何一个广义的易损素数。然而，这并没有阻止他们继续寻找的脚步。
经过不懈的探索，他们证明了这样的数字在十进制的情况下确实是可能存在的，而且还会有无穷多个。更进一步，他们还证明了广义的易损素数同样是呈正比例的，就像陶哲轩的结论那样。之后，在索斯威克的博士论文中，他在2、9、11和31进制上获得了相同的结果。波拉克对这些发现印象深刻，他说：“对于这些数字，你可以做无限多可能的改变，然而不管你做哪一个改变，你得到的始终是一个合数。”
证明过程主要依靠两种工具，第一种被称为覆盖同余（covering systems），是由埃尔德什在1950年发明的，目的是解决一个数论中的问题。索斯威克说：“覆盖同余能够提供大量的分组，同时保证每个正整数至少在其中一个分组中。”例如，如果将所有正整数除以2，我们就能得到两个分组：一组偶数，一组奇数。这样即可“覆盖”所有的正整数，而在同一组内的数字则被认为彼此是“一致”的。当涉及的数字量十分大时，也就是面对寻找广义易损素数时，情况会显得更为复杂。我们需要更多的分组，大约1025000个，在这些分组内的每一个素数都要保证，在增加了任意一位的数字，包括前面的零之后，能够变成合数。
但为了找到广义的易损素数，这些数中的任何一位数字减少后，也必须变成合数。这就是第二种工具，称为筛分法。筛分法最早可以追溯到古希腊，它提供了一种计算、估计或设置满足某些性质的整数个数限制的方法。菲拉塞塔和索斯威克使用了一个筛分参数，类似于陶哲轩在2011年采用的方法，也就是如果你在前面提到的组中取素数并减少其中的一个数字，会有呈正比的素数变成合数。换言之，广义的易损素数也是呈正比的。
然后，在一月份的一篇论文中，菲拉塞塔和他现在的研究生雅各布·朱伊拉特（Jacob Juillerat）提出了一个更加惊人的观点：存在任意长的连续素数序列，其中每个数字都是广义的易损素数。例如，有可能找到10个连续的广义易损素数。但这必须得检验大量的素数，菲拉塞塔说，“这一数量可能比可观测宇宙中的原子数还要多。”他把这比作连续10次中彩票，虽然概率特别小，但是依旧是有可能的。
菲拉塞塔和朱伊拉特分两个阶段证明了他们的定理。首先，他们使用覆盖同余来证明存在一个包含无限多个素数的分组，分组内的所有数字都是易损素数。在第二步中，他们应用了丹尼尔·邵（Daniel Shiu）于2000年证明的一个定理：在所有的素数中，存在任意数量的连续素数属于上述的分组中。这也就能够进一步说明，这些连续的素数必然是广义的易损素数。
达特茅斯学院的卡尔·波默朗斯（Carl Pomerance）非常喜欢这些论文，他称赞菲拉塞塔是应用覆盖同余的大师。同时，他还指出，用十进制来表示一个数字可能会很方便，但这并不符合数字的本质。他认为，还有更基本的方法来表示数字，比如梅森素数的定义——素数p的表现形式为2p–1的素数。
在之前的研究基础上，最近的一些相关论文提出了更多值得探讨的问题。比如，每一种进制下是否都存在广义的易损素数？当在两个数字之间插入一个数字，而不是仅仅替换一个数字时，是否会有无穷多的素数变成合数？
此外，波默朗斯还提出了另一个有趣的问题：当数字接近于无穷大时，是否所有的素数都会变为（广义）易损素数？这是否也就意味着，非（广义）易损的素数个数是有限的？尽管他和菲拉塞塔都还没有想到办法来证明这个猜想。
波默朗斯说：“数学研究的魅力就是你事先不会知道你是否能够解决一个具有挑战性的问题，或者这个问题是否是有意义的。就像你不能提前决定：今天我要做一些有价值的事情，因为你不知道在数学研究中，什么事情才是有价值的，你只能去不断思考，不断尝试。”
参考链接：
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-a-new-class-of-digitally-delicate-primes-20210330/