寻找构造⟹ 理解运用--相似的基本图形思想1

相似的学习对我们很多同学来讲是一个难点，有的同学说知识点我都知道，就是看到题不会做，其实这跟我们学习几何的思维习惯相关。私以为几何的解题不外乎三个切入点：重要条件、结论、图形。

相似的题目图形大多比较复杂，我们更需要了解基本图形，找出基本图形，甚至构造基本图形来解决问题。

相似的基本图形一

这就是学生口中经常提到的A型和X型相似。

我们先来看最简单的，课本在相似部分给出了重心的概念和性质，我们就先从重心性质的探究开始。

探究重心的性质：

如图所示，△ABC中，点D、E为BC、AC中点，AD、BE交于点F，试求线段AF和FD之间的关系。

分析：

这个题目是一道很简单的中位线应用，学生肯定能通过中位线定理发现△ABF∽△DEF，相似比为2：1。其实对于这个问题我们可以很好的去利用，引导学生分析中点的解题思路，拓展学生的解题视野。

思考：

刚才的思路是从条件角度入手，利用两个中点找到中位线和边的关系进行比例的转化。我们还可以引导学习思考中点还可以怎么处理？（构造全等、构造中位线）。

或者从结论的角度来思考这个问题，怎样才会出现

？或者出现

这样的比例？从而想到去构造平行线。

方法一：

方法二：

过点D作DG∥BE交AC于点G。

方法三：

过点D作DH∥AC交BE于点H。

方法四：

过点E作EM∥BC交AD于点M。

方法五：

过点E作EN∥AD交BC于点N。

方法六：

过点C作CQ∥AD交BE的延长线于点Q。

方法七：

过点C作CK∥BE交AD延长线于点K。

方法八：

过点B作BP∥AC交AD延长线于点P。

方法九：

过点A作AG∥BC交BE延长线于点G。

认真分析刚刚的几种方法，切入点为中点，利用中点构造全等，利用中点构造中位线。加上对结论线段比的思考，在图形中找出A型和X型相似。回到一开始的方法一，其实里面也有两组三角形相似，如下图。

反思：

通过刚才我们从条件中点思考构造中位线、构造全等，从结论需要得到线段的比例从而去构造平行、构造相似。我们再从图形上去看一下刚刚的做法，每一种做法中都出现了如下图所示的基本图形，也就是学生经常说的A型和X型相似。我们在做题的时候就应该去图形中寻找构造类似的基本图形，提炼基本图形，更好地为解题服务。

引申一：

如图所示，△ABC中，点D为BC中点，E为AC边上一点，且CE=2AE，AD、BE交于点F，试求线段AF和FD之间的关系。

分析：

通过刚才对重心性质的探究，我们知道应该怎样去处理辅助线的问题，根本是需要自己说服自己，为什么这样作辅助线，以后看到类似的题目如何处理。这里我就只给出一种辅助线了，结论是AF=FD。

引申二：

如图所示，△ABC中，点D为BC中点，E为AC边上一点，且CE=nAE，AD、BE交于点F，试求线段AF和FD之间的关系。

引申三：

如图所示，△ABC中，点D为BC上一点，BD=mCD，E为AC边上一点，且CE=nAE，AD、BE交于点F，试求线段AF和FD之间的关系。

总结：

通过刚才题目的分析，我们发现解决题目的关键是作平行构造A型和X型相似，然后运用比例的性质来进行变换，从而解决问题。给我们的启示就是看到线段比例关系就要想到相似，没有相似就去构造，一般构造平行线进行比例转化。