数学作图工具_伽罗瓦和古典数学难题：难题给我们的启发
你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。
我们接下来两讲说说那些数学史上的难题，体会数学这个工具的具体作用。
在几何学中，有几个古典的难题，它们都是作图题。这几个问题看上去很容易，但是几千年也没有人能解决，即便以高斯等人的天才，对它们也是无能为力。但是，19世纪的两位法国天才少年却发明了一种数学工具，让这些问题瞬间得到解决。
我们先从这些问题说起，通常讲的古典数学难题有这样三个：
三等分任意的已知角；
做一个体积是已知立方体两倍的立方体(也被称为倍立方问题)；
做一个面积等于已知正方形的圆，或者反过来(也被称为方圆问题)。
当然这些几何作图题只能使用圆规和直尺为工具。
通过前面课程的学习，你可能已经看出第二个问题和第三个问题有些相似性，就是用圆规和直尺作出一个无理数的长度，它们分别是2的立方根，以及圆周率π，如果我们能作出这些长度，这两个问题就迎刃而解。反之，如果我们能证明这是作不出的，则说明上述问题无解，也算是把问题解决了。
至于第一个问题，如果大家学了三角函数就会发现，它其实等价于算出1/3个角的任何一种三角函数，相应的公式并不难写出，而它的解析解其实也包含了立方根，因此它和第二个问题一样，它也是一个用圆规和直尺做立方根无理数的问题。
在长达上千年的时间里，很多数学家都是靠拿着圆规和直尺不断尝试做这些几何作图题。由于每一个轨距尺作图的难题解法之间没有什么规律可以遵循，因此能否解决一道题，其实就是靠经验和运气。但是，即便运气好，发现了一个问题的解法，得到了一种解题技巧，这种技巧其实无法推广，对其他问题的解决帮助不大。
比如说，了解数学趣闻的读者都知道高斯用直尺和圆规作图解决正十七边形画法的问题，这个问题的解决除了高斯聪明以外，主要是他的运气好，因为恰巧正十七边形的边长计算出来只有平方根，不涉及到立方根或者五次方根，而任何自然数的平方根都可以用圆规和直尺作出来。
至于为什么自然数的平方根都很容易做出来，这其实是靠毕达哥拉斯定理做保障的。但是高斯所用的相应的技巧到正七边形那里，或者正十九边形那里，就不管用了。上述例子说明两点：
在19世纪之前，当没有关于几何作图的系统性数学工具之前，那些所谓的难题都是孤立的。
似乎用直尺和圆规作不出来的几何图形，都涉及到立方根。
这两个现象19世纪初的数学家们应该已经注意到了，但是没有人知道如何解决。而系统地解决上述问题的不世天才叫做伽罗瓦。当然还有另一位也有不少相关的发明，他叫做阿贝尔，阿贝尔的故事我们今天不讲，重点说说伽罗瓦。
天才数学家伽罗瓦
伽罗瓦生于1811年，死于1832年，只活了21岁。他是近代数学的一个重要分支，群论的奠基人。伽罗瓦属于智商极高的人，这种人其实非常难培养，我举一个例子大家就明白了。
假如我们普通人的智商是100，我们看那些智商是50的人就觉得他们是白痴，我们会觉得这么简单的问题，你们怎么就搞不懂呢？甚至觉得他们的行为很傻。同样，那些智商在160以上的人看我们也是白痴，觉得我们的行为很傻，并且可能会时不时地捉弄我们，以显示他们的不同。
但遗憾的是，我们这样的人在世界上占大多数，智商160的人很少，因此我们看他们就觉得他们非常乖张，与众不同。在历史上，像奥本海默、图灵都被大众认为是这样的人，伽罗瓦也不例外。
伽罗瓦在中学时得到的评语是“奇特、怪异、有原创力却封闭”，你如果考虑到他的智商，就可以理解他得到这样的评语完全是意料之中的。伽罗瓦11岁时成绩很好，但是他觉得学的内容太简单，于是就对学校的学习开始厌烦了。
所幸的是，他14岁的时候爱上了数学，并疯狂地学习数学，在15岁就能阅读大数学家拉格朗日的原著。当然从此他对其他学科再也提不起任何兴趣了。因此，伽罗瓦得到这样的评语并不奇怪。
伽罗瓦接下来投考大学也不顺利，他1828年两次投考著名的巴黎综合理工大学，都在口试中落榜，一般认为伽罗瓦过于狂傲，根本不把考试当回事，甚至有传言说他觉得考官的题目太简单了，将擦黑板的抹布直接扔在了考官的头上。总之他没有考上。
不过，伽罗瓦随后却考上了法国最著名的巴黎高师，这是今天全世界基础数学研究的圣地，也是出菲尔兹奖最多的地方。关于这两所极具特色的精英学院的特点，大家可以回顾我在《Google方法论》中介绍法国高等教育的来信。在巴黎高师，老师们评价他是，想法古怪，但是十分聪明，并体现出了非凡的学术精神。
伽罗瓦最初重要的数学成就完成于他在大学读书期间。1829年3月，还只有17岁的伽罗瓦发表了第一篇数学论文，几乎同时他将两篇重要的论文寄给了大数学家柯西，但是从此就没有下文了。
关于这件事有各种猜测，包括一些阴谋论的猜测，比如说伽罗瓦是激进的革命派，而柯西则是保皇派，因此不准许前者的论文发表，我过去在国内读到的关于这件数学公案的说法大致如此。另外一种说法是，柯西对这个不知名的年轻人的论文根本不重视，放到一边了。
当然，还有一种截然相反的说法，说柯西认识到了这两篇文章的重要性，建议把它们合并起来参加数学学术大奖的竞争，而当时发表过的论文是不能参赛的，因此，柯西没有建议发表它们。但不管是什么原因，这些论文没有发表。
伽罗瓦随后参加了1830年法国爆发的七月革命，他在校报上抨击校长，并且因政治原因两次下狱，也曾企图自杀。关于伽罗瓦之死也是众说纷纭，通常的说法是死于决斗，据说自知必死的伽罗瓦在决斗前天将自己的所有数学成果奋笔疾书写了出来。他的朋友后来遵照伽罗瓦的遗愿，将它们寄给数学泰斗高斯与德国著名数学家雅可比。但是也都石沉大海了。
十几年后，法国数学家刘维尔发现了伽罗瓦独创而具有前瞻性的工作，在1846年将它们整理，作序并发表。从此伽罗瓦被确认为群论的开创者，这个理论的基础部分也被称为伽罗瓦理论。这是当代代数、数论和计算机科学的重要支柱之一。
关于群论我们就不详细介绍了，它是一个非常有力的工具，利用这个工具，我们可以直接证明三大古典数学难题无解。此外，它还可以证明几个今天在数学上被称为常识的结论，比如：
5次和5次以上的方程式没有解析解，而4次以下的一定有解析解。
什么样的正多边形可以用直尺和圆规作出来，什么样的不能。
另外，怀尔斯在复证费马大定理的时候，也用到了伽罗瓦理论。
数学难题带来的启发
今天讲这些内容的目的是什么呢？除了介绍数学家与众不同之处，我主要是传递下面三个知识点。
首先，绝大多数知识体系都不可能做到绝对的完备性和一致性的统一。在数学上，希尔伯特一直想做到这一点，但是后来哥德尔证明这是办不到的。这带来一个结果，也就是说，如果我们在数学内划定一个区域，这个区域里很可能出现仅仅依靠区域内的知识无法解决的问题。三大古典数学难题就是如此。
解决这些问题，就需要更大区域的知识。打一个比方，我们在小学，可能遇到所学内容无法解决的问题，需要到中学扩大知识范围后，回过头来解决。这也就是为什么我们要不断学习的原因。
其次，进一步体会工具的作用。数学中的每一种工具，都可以解决很多问题，并且将很多看似并不相关的难题的共性找出来。如果没有这些工具，那些难题即便能解决，也是靠特定的技巧，而那些技巧几乎无法用于解决其它问题。
伽罗瓦其实是发明了一套新的工具，这样一劳永逸地解决了很多问题。因此，学习工具，善用工具，是学好数学的秘诀，也是我们平时做其他事情需要具有的能力。
最后，要跳出圈外。在一个时代，某些问题之所以显得很难，是因为它们看似属于当时的知识体系中的问题，但其实这只是表象。比如三等分已知角这种问题，看似和二等分已知角一样，是一个简单的几何作图题，但是它其实不是一个在欧几里得几何范围内能够解决的问题。
后来高斯等人虽然意识到它们都是代数题，但是却也不是初等代数能够解决的问题，而属于我们今天所说的近世代数才能解决的问题。这就如同我们在没有阳光的森林里要辨清方位是很难的事情，但是如果我们能够飞越到500米高的上空，一切就看得一清二楚了。
希望大家通过今天的内容，深刻体会善用工具和跳出圈外。如果说有什么数学思维，其实就是这讲的内容，当然我们在课程里贯穿进去了。——吴军《数学通识五十讲》