平行线的性质
【方法技巧】
1. 在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，这是平行线特有的性质.
2. 利用平行线的性质构建等角链.
3.平行线间的距离处处相等.
4.夹在两条平行线间的线段必须是和这两条平行线垂直，否则其长度不是两条平行线间的距离5.夹在两平行线间的图形的等积变换.更多内容见公众号：初中数学解题思路.不限定点是否在直线上.
题型一 利用平行线性质导角
【典型例题1】 如图，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD.下列结论：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠CBE＋∠D=90°；④∠DEB=2∠ABC，其中正确的个数有哪些？说明理由.
【解题思路】根据平行线的性质和判定、垂直定义.角平分线定义进行判断即可.【答案解析】∵AF∥CD，∴∠ABC=∠ECB，∠EDB=∠DBF，∠DEB=∠EBA.
易证∠ECB=∠EBC=∠ABC=∠BCA.∴BC平分∠ABE，①正确；由∠EBC=∠BCA，得AC∥BE，②正确；易证∠CBE+∠D=∠CBE＋∠DBE=90°.③正确；∵∠DEB=∠EBA=2∠ABC，④正确；故①②③④都正确.
已知两个角的两边分别互相平行,其中一个角比另一个角的3倍少20º,求这两个角的度数.【解题思路】这类题目采用设元列方程比较简单，详见答案解析.注意分类讨论.【答案解析】设一个角为x°，则另一个角为（3x-20）°两个角的两边分别平行，有以下两种情形:（1）如图（a），当两个角的两边方向相同或都相反时，这两个角相等，这时x=3x-20，解之得x=10，这两个角都是10°；
（2）如图（b），当两个角一边的方向相同，另一边方向相反时，这两个角互补，这时x+3x-20=180，解之得x=50，所以一个角是50°，另一个角是130°.【典型例题3】已知在梯形ABCD中，AD∥BC，连接AC，BD相交于点O.（1）图中有几对面积相等的三角形？（2）若AD与BC之间的距离为a,AC=4,BD=5,求AD＋BC的最大值.（用a表示）
【解题思路】等底等高的两个三角形面积相等.更多内容见公众号：初中数学解题思路.【答案解析】
平行线的判定
【方法技巧】
1．两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
2．同位角形如字母“F'(或倒置、反置)；内错角形如字母“Z”(或反置)；同旁内角形如字母“U”(或倒置、反置)．
3．三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，其大小是不确定的．
4.平行公理体现了平行线的存在性和唯一性，平行公理的推论体现了平行线的传递性，它们都可以作为以后推理的依据．
5.平行公理中强调“经过直线外一点”，而垂线性质中只要求“经过一点”，更多内容见公众号：初中数学解题思路.不限定点是否在直线上.
6. 已知角相等导角证平行;通过角的数量关系证平行;通过同角（等角）的余角相等，对顶角相等、角平分线得等角.再整平行.
7.有些平行线的证明，无法直接导出相等角，此时考虑连线或作平行线转化角.
题型一 三线八角
【典型例题1】
在∠1至∠8这8个角中，同位角、内错角、同旁内角各有几对，请分别写出来．1．在做这样的题时，要一个角一个角的找，必须细心；2．按照字母形状帮助识别同位角、内错角和同旁内角．内错角有4对：∠3和∠6，∠4和∠7，∠1和∠7，∠2和∠8；同旁内角有7对：∠1和∠8，∠2和∠3，∠2和∠7，∠3和∠7，∠4和∠5，∠4和∠6，∠5和∠6．在平面内,有下列说法: ①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; ②经过一点有且只有一条直线与已知直线平行; ③平行于同一直线的两余直线互相平行; ④垂直于同一直线的两条直线互相理直.其中正确的有( )个.【答案解析】语句①、③显然正确,②中只有经过直线外一点才能作直线与这条直线平行,④中垂直于同-直线的两直线应该互相平行.所以选B.一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )【答案解析】“方向相同”有两层含义，即路线平行且方向相同，在此基础上准确画出示意图．根据同位角相等，两直线平行，得A正确.
【典型例题4】难度★★★
如图,有一条直的等宽纸带,沿AB折叠后在点C处两边夹角为30º, 求∠α的度数.【解题思路】更多内容见公众号：初中数学解题思路.不限定点是否在直线上.折叠类题目最关键的是找到折叠前和折叠后相等的相关角.如本题中的∠ABD=∠ABC=∠α，∠EAB=∠FAB=α+30º.详见答案解析.【答案解析】方法1如果将纸带展开，∠a与∠ABC（即∠ABD）是两平行直线被直线AB所截得的内错角，所以△ABC中.方法2因为AF∥BC，所以∠FAC=30（两直线平行，同位角相等）.由题意，∠EAB=∠FAB=a+30°，而∠EAB+∠CAB=a+30°+a=180°，可得a=75°.已知AB//CD,点M.N分别在AB、CD上.(1)AB,CD间有一点E,点E在直线MN左侧,如图(a)(2)当AB、CD间的点E在直线MN右侧时,如图(b)∠AME, ∠CNE, ∠MEN 之间有什么关系?(3)如图(c),当点E在AB、CD外侧时,探索∠AME 、 ∠CNE、 ∠MEN之间有何关系?【解题思路】根据平行公理，做辅助线EF∥AB是解决本题的关键.本题的解法较多,如下图（a）、（b）中,可以延长ME（NE）和CD（AB）相交,过点M（N）作EN（EM）的平行线;图（c）中,可以作直线MN等.都能应用平行线的性质（也可以应用三角形的内角和定理）得到证明,且能够相互转化.【答案解析】（1）过点E作EF∥AB（经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行），所以∠AME=∠MEF.因为EF∥AB，AB∥CD，所以EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∠CNE=∠NEF（两直线平行，内错角相等）（2）过点E作EF∥AB（经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行），所以∠AME+MEF=180°因为EF∥AB，AB∥CD.所以EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）.所以∠NEF+∠CNE=180°（两直线平行，同旁内角互补），∠AME+∠MEF+∠NEF+∠CNE=360°，所以∠AME+∠CNE=360°-∠MEN（3）过点E作EF∥AB（经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行），所以∠AME=∠MEF（两直线平行，内错角相等）.因为EF∥AB，AB∥CD，所以EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）.所以∠CNE=∠NEF（两直线平行，内错角相等）.∠AME=∠CNE+∠MEN.
