四边形的综合题（一）特殊四边形的性质判定的综合应用

【考纲要求】

1．了解四边形的不稳定性;理解平行四边形、矩形、 菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系.

2．能利用平行四边形、矩形、 菱形、正方形的性质定理与判定定理解决有关简単问题.

3．运用平行四边形、矩形、 菱形、正方形的有关内容解决有关问題.

【基础知识】

1．平行四边形的性质

平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等．

平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．

平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分．

平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形．

平行四边形的周长：一组邻边之和的倍．

平行四边形的面积：底乘以高．

2.平行四边形的判定

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

3．矩形的性质

矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：

① 边的性质：对边平行且相等．

② 角的性质：四个角都是直角．

③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．

④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．

4．矩形的判定

判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．

判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．

5．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：

① 边的性质：对边平行且四边相等．

② 角的性质：邻角互补，对角相等．

③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

6．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：四边相等的四边形是菱形．

7．三角形的中位线

定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半． 

【典型例题】请阅读下列材料：

问题：如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段

DF的中点，连接PG，PC．

探究：当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形是正方形？

小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG是矩形；然后延长GP交DC于点H，构造全等

三角形，经过推理可以探索出问题的答案．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．

（1）求证：四边形BEFG是矩形；

（2）PG与PC的夹角为________度时，四边形BEFG是正方形．说明理由：

【答案解析】