中考热点问题解题集--几何综合压轴题（三角函数边角转化、破解线段最值问题）

WINTER

《怎样解题》一书的作者匈牙利数学家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。做题不在多而在精，题要解得精彩；对待解题的思想方法要对头，要通过做题，深刻理解概念，扎实掌握基本知识，学会运筹帷幄，纵横捭阖，使自己的思维水平不断提升，高屋建瓴；只有这样，面对千变万化、形式各异的题目时，才能应对自如，使一道道难题迎刃而解。也就是说，我们在解题时应力求做到一题多解，多解归一，多题归一，用“动”的观点分析问题，尽可能地拓宽思路，训练自己敏锐的思维，做到“八方联系，浑然一体”，最终达到“漫江碧透，鱼翔浅底”的境界。

今日研题 

【题目编号2021014】如图，已知△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90，AC=BC，CD=CE，将△CDE绕着点C旋转，连接AD、BE。

(1)如图1，当点D在△ABC内部时，DE、BC交于点M，若CD平分∠ACB，且CD=4，求MD的长度；

(2)如图2，当点D在△ABC外部时，连接AE，F为AE的中点，连接FD并延长到点G，连接EG。若EG=EB，求证：∠EGF=∠FDA；

(3)如图3，在△CDE绕点C旋转的过程中，AD、BE所在的直线交于点P，若BC=2DC=6，请直接写出AP的最大值。

分析与解

PART-1

第（1）问考查等腰直角三角形的性质和判定，及其三边之间的关系。

易知△CMD是等腰直角三角形，由CD=4，根据等腰直角三角形的三边之比为1:1:√5，可求得DM=2√2.

PART-2

根据等腰直角三角形ABC和ECD，可证△ECB≌△DCA，故BE=AD，再由条件EB=EG，则有AD=EG，由F是AE的中点，AD=EG，可考虑将△ADF绕点F旋转180°至△EFH，根据AD=EH=EG，于是∠EGD=∠EHF，再根据∠EHF=∠ADF，则有∠EGD=∠ADF。

PART-3

由△ACD≌△BEC，导角可证∠APB=90°，在Rt△APB中，AP=AB×cos∠PAB，因为AB为定值，故AP最大，则需要cos∠PAB，也就是∠PAB最小，进一步观察发现∠CAB=45°为定值，∠PAB最小则∠CAD最大，△CDE绕C旋转，所以点D在C为圆心CD为半径的圆上，∠CAD最大时，AD与圆C相切，即CD⊥AP。

当CD⊥AP时不难求得AP=3√3+3，故AP的最大值为3√3+3。

解题反思

本题以初中几何常见的两个等腰直角三角形共直角顶点，必有一对旋转型全等为背景，考查了等腰三角形的、全等三角形、勾股定理、直线与圆的位置关系、三角函数等核心知识。

第（2）问紧扣中点，构全等转化AD为HE，与EG共顶点出现等腰三角形，利用等腰三角形的性质，通过∠EHF这个中间量，将结论中的两个角建立联系，从而证得结论。

本题关键的第（3）问，解决动态问题依然是要分析图形在变化过程中的不变的量或不变的关系，即“变中有不变”全等导角发现∠APB=90°这是一个不变量，故点P在AB为直径的圆上，但是点A与点P是在同一个圆上，故无法根据点P的轨迹来求得AP的最大值，进一步分析在Rt△APB中，AB为定边，AP最大则∠PAB最小，通过三角函数实现了边与角的转化，点D在C为圆心CD为半径的圆上，∠PAB的大小是由CD与AP的位置关系决定的，当CD⊥AP时∠PAB最小，此时AP有最大值。