这4个锦囊妙计，学校里不会讲，学霸不会告诉你！压轴题没思路时就靠它们

《三国演义》在描写诸葛亮打仗时，画风是这样的：诸葛亮战前给各位将军分发锦囊，命令诸将在某处走投无路时打开第一个锦囊，某处打开第二个锦囊。蜀军依计取得大胜。

在中考数学中，几何压轴题也常常让学生面临“走投无路”的困境，对复杂的几何图形望而生畏，没有探究的勇气和欲望，怕动脑筋，更怕对比和分析、归纳与总结，长此以往，对几何的兴趣也就逐渐淡化。

诸葛亮那样的锦囊妙计真的存在吗？让学生看懂图形、消除对复杂图形的“恐惧”，在毫无思路时一招克敌制胜，这样的锦囊妙计存在于数学模型之中。

模型思想是《义务教育数学课程标准》（2011版）中新增加的一个核心概念，有专家将其称之为学生数学核心素养之一。广义地说，一切的数学概念、定理、公理等都是数学模型。在初中数学领域，数学模型体现为运用数字、符号等建立起来的关系式、代数式、方程式、不等式、函数式以及各种图表、图形等。

也就是说，要让学生知道，这些“复杂”的图形是由一些基本几何模型经过变化而来的，这些几何模型都是有规律可循的。

而几何模型有时并非直接存在于图形中，尤其是比较难的综合压轴题，需要我们添加辅助线构造对应模型，而这往往也是学生感觉最为困难的。原因也在于学生对图形不够熟悉，没有模型观念，所以对问题无从下手，这就需要学生去总结常见的模型及其变式。下面4中几何模型比较经典，在学生没有思路时，可以尝试用这些模型轻松解题。

01

射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形计算的重要定理。

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

BD²=AD·CD

AB²=AC·AD

BC²=CD·AC

此外，当这个三角形不是直角三角形但是角ABC等于角CDB时也成立。

这道广东中考压轴真题立意新颖，图形简单直观，知识容量大，对考生的能力要求高，解法发散，突出数学思想方法，能起到区分层次和选拔的作用。

02

托勒密定理指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

我们的压轴题给分时往往给的比较松，只要是对的答案，基本上都是给分的，如果不会做时可以考虑下用托勒密定理。但托勒密定理是一个半超纲的方法，在做大题时，需要标注“由托勒密定理得：”。

这道题的第3小题可以直接套用托勒密定理。连接B、E，设AE为a，则EB为a，AB为√2a。

由AB·CE+AE·BC=AC·EB

得√2a·CE+a·BC=a·AC

得√2CE+BC=AC

03

婆罗摩笈多是印度的数学家，有大量的的研究成果出现，“婆罗摩笈多”模型是一个综合性非常强的模型，如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M。过M做EF⊥BC于点E，交AD于点F。那么F是AD的中点。

这道题中，当点H是垂直的时候，点I是中点，反过来，当点I是中点时，点H也一定是垂直的，这就是婆罗摩笈多模型的特别之处。由中点证垂直和由垂直证中点都是可以互相推出来的。两小题的辅助线已经分别做了出来，同学们可以尝试证明一下。

04

“PA+k·PB”型的最值问题是中考考察的热点更是难点。

当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的将军饮马模型来处理，即可转化为对称轴问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的对称轴思想来解决问题，则无法进行。

因此必须转换思路。此类问题通常以动点P所在的图像不同来分类。一般分为2类：即点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中P点在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题，点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

“阿氏圆”指已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

解题策略是利用两边成比例且夹角相等构造相似三角形（简称美人鱼相似），用阿氏圆模型来试试下面这道题：

总结常见的模型及其变式，看透每一个图形，找准其本质，有的放矢，有依据、有目标地添加每一条辅助线构造模型，让自己具有一双“慧眼”，能够领略图形的“颜值”，才能轻松解决几何难题。