数学发现和论证的两种原型：古中国与古希腊
在古希腊出现了以欧几里得的《几何原本》为代表作的公理化（axiomatic）数学。古希腊人将数学对象理想化，并要求给出命题（proposition）的严格证明。公理化的数学体系是古希腊最伟大的成就之一。公理化数学是从定义和公理出发，通过严格的证明步骤来推导（deduced）出其它的命题。
中国古人主要通过算法计算来直观地进行数学训练，这可以从公元前1世纪的《九章算术》中体现出来。尽管数学在美索不达米亚、埃及和古中国的发展是相互独立的；但在某种程度上，古中国的数学是包括古巴比伦数学、古埃及数学和中国传统数学在内的古代东方数学的最高形式。这两种数学实践的原型代表着两种重要的数学价值观：确定性和实用性。
公理化数学的知识和社会背景：
广泛的怀疑主义和Agon（对抗）的社会
古希腊，不仅形成了严密的数学证明，而且形成了系统的公理化方法。关于公理化数学的知识和社会背景，本文提出一种新的论点：（1）数学中公理化的出现是为了使数学摆脱怀疑主义哲学趋势的束缚；（2）古希腊人强调“agôn（对抗或竞赛）”提升了公理化方法在数学中的地位。我们不应当限制皮浪派和学院派中的怀疑主义哲学趋势的发展。皮浪之前的柏拉图和亚里士多德的思想中已经出现了怀疑主义的倾向，这种倾向似乎已经对欧几里得之前的哲学和数学家都产生了强烈的影响。
狭义上，一般认为是亚里士多德之后的皮浪派建立了怀疑哲学，但是希腊的怀疑哲学早期有其开创性的形式。怀疑主义者中止判断有五种模式：源自于争辩的模式；无穷的倒退模式；相对论的模式；假设的模式；循环模式。这对于公理化数学是必不可少的，并且与亚里士多德的严格证明理论有一定的关系。
在希腊社会中“agon”的概念使得靠批判性思维去统治社会成为可能，并且要求数学家进行严格的证明，从而促使了公理化数学的形成。
公元前8世纪，随着人口激增海外殖民地化加剧，一场猛烈的军事改革也开始实施。贵族时代的繁盛时期出现了带着“大圆盾”和“铁矛”的“重甲步兵”(hoplites)，而且他们开始与坚固的“方阵”并肩战斗。现在普遍认为这些沉重的武器是在公元前8世纪末出现的，而方阵的作战形式则出现在公元前7世纪。一些历史学家认为《伊里亚特》中有关于方阵策略的故事。
强调对抗或竞赛的政治制度是如何确立的？希腊社会史中的关键性的转折点是城市的“战斗特殊主义（militant particularism）”的发展，随之城市具有了“城邦”(Polis)的典型特征。”希腊作为一个海洋国家培养和发展了许多多元化的“城邦”。以适于战争为起点的发展最终给出了保卫的职责，以及自耕农（independent agrarian burgher）享有的政治权利；这些自耕农在“古典”时期初期就已经开始用自己的武器武装自己。皇家集权政体的政治地位不断下降，而“用自己的武器武装自己的自耕农”的地位不断上升，这在希腊城邦政治的形成中扮演着重要的角色。在“用自己的武器武装自己的自耕农”的历史的描述中，只有“重甲步兵（Hopliten）”在从“贵族城邦”到“公民的民主城邦”转变中出现的“重装备城邦”中占有重要的地位。这种农民士兵以铁甲取代了青铜的长矛和箭，并且接受了群体战役的训练。
韦伯认为：希腊是一个海洋国家，这有效的防止了专横的君主独裁制度的形成；第二部分是关于希腊重甲步兵的特殊作战方式。在希腊中央集权的皇家政体未能形成；贵族城邦出现之后，利用重甲步兵的战争策略使得公民的民主城邦大受鼓舞。或许我们不能将建立民主城邦的起因简单归咎于重甲步兵的出现，但是以重甲步兵为主的作战模式对于主权掌握在平民手中的政府建立民主起到了很大的帮助。
在某种程度上，agon得到了发展并转变成几乎覆盖整个希腊社会的典型的民族精神。韦伯做了更进一步的讨论：“世界上没有任何其他的共同体曾把对抗或竞赛这样的制度发展到如此重要的程度，以致让它主导了所有的利益、艺术实践乃至像柏拉图对话式的辩论那样的社交活动。”甚至认为“柏拉图对话式的辩论”与竞赛的概念有一定的关系。换句话说，“柏拉图对话式的辩论”肯定是“辩论竞赛”。甚至这种谈话的艺术是一种agon的民族精神的表现。
军事上激进的改革提高了重甲步兵的社会地位，而且导致了一个民主政体的建立。对于雅典的民主城邦来说，重甲步兵的社会阶层扮演着重要的角色。在第三类等级的士兵之下是所谓的“第四等级”，这些人是战列舰上的划桨能手。第三等级和第四等级的人，特别是重甲步兵会为他们的政治权利发声。以市民与重甲步兵为核心要求“权利的平等”，包括“平等的言论自由”，而不是只有贵族才享有的一般意义上的“平等的权利”。因此，贵族时期之后与民主政体之前的公元前5世纪初期，人们认为各种各样的“公民自由”在雅典城邦中已经制度化。
依照修昔底德（Thucydides）的《历史》（卷Ⅱ，37）记载，这时期的政治家伯里克利（Pericles）在公元前431年到公元前430年的国家葬礼上为死去的士兵做了一次著名的演说，呼吁战争职责的重要性。在那次演讲中，伯里克利公开宣布：“我们的政府被称为民主政体，这是真实的。因为它的管理掌握在大多数人手里，而不是少数人手里。”对于修昔底德来说，历史是一所努力去理解其未来的民主制的学校。
这正是公元前4世纪早期的苏格拉底在柏拉图的《理想国》（557B）中所说的社会背景：“他们不是自由的吗？城邦不确确实实充满了行动自由与言论自由吗？不是每个人都被准许想做什么就做什么吗？”由于哲学思考的自由发展，具有保证“自由的言论”这一特征的城邦自然特别重要。
下一个重要的问题可能是，“一个人反对他所处社会中主流观点的可能性有多大？”古希腊社会中的言论自由起源于公元前6世纪埃利亚学校的色诺芬尼（Xenophanes），他被认为是怀疑思想先驱中的哲学家之一。
希腊数学中的严格证明的精神正是希腊“批判精神”的写照。“critical”这个词来自希腊形容词“κριτικóζ”意思是“敏锐的判断力”。这种心智与逻辑辩证有一定的关系，并且最终是“对抗或竞赛文化”的一种阐述。古老的奥林匹克运动会最繁盛的那段时间差不多恰好是希腊数学最活跃的一千二百年。数学家和运动员都采取公开的方式来进行自我展示。随着怀疑哲学鼓励与主流的教条不同的意见，拥有严格标准的公理化数学成为是agon社会的产物。
亚里士多德的《雅典政制》（第60章）中写道，雅典城邦的风俗是这样的：他的“执政官”（Archons）指挥其成员来主管庆典，音乐比赛、体育比赛及赛马，并给竞赛获奖者颁奖。换句话说，市民们为了名誉在民主城邦的各种竞赛中相互竞争。这似乎与欧几里得公理化数学的风格相似，在公理化数学中定理的证明与问题的建立是从第一原理或者说起点开始进行的。
从《九章算术》看中国数学
的实用和算法模式
希腊数学的模式并不比其它任何数学实践要好。希腊的数学模式与中国的数学模式是相互补充并且不可通约的。
公元前8世纪之前，希腊数学和中国数学似乎没有本质上的区别。根据李约瑟的看法，哲学上的“诸子百家”在公元前500年到公元前250年间到达鼎盛时期。但是，随着中国第一个统一的王朝秦朝的出现，官方的思想占了主导地位。约公元前1世纪的汉朝时期，为了官僚的使用，学者们创作了中国最重要的数学著作《九章算术》。一般认为这本书形成了中国传统数学的模式或风格。直到20世纪初的清朝末期，《九章算术》一直是中国数学的代表作，并被认为“是中国式'欧几里得几何学’”。
这里应当提到《九章算术》的三位评论家沈康身、约翰·克罗斯利（John N. Crossley）和伦 ( John N. Crossley)的看法：
即将进入21世纪，或许我们比先前的数学家更乐意去欣赏这部著作。在西方,数学是建立在希腊传统基础之上的，它最重要的概念是逻辑证明，提供算法往往占据次要地位。在东方，根据中国的传统，重点是提供算法并产生正确的结果。实际上，为了做数学运算，健全的逻辑学基础与精确地实际应用这两个方面同等重要。直到最近只有中国数学中的杰出算法吸引了西方的注意力，但可以明确的是数学家们，如刘徽、祖冲之以及他的儿子祖恒，都极其关注算法，这就表明算法是合乎逻辑的。
李约瑟在《中国科学技术史》中似乎认为中国人本质上就是实用主义者。尽管《九章算术》主要是为了官僚的使用而编写的，但书中从没有忽略实用数学的起源。中国传统数学通常通过算法运算来获益是东方数学的最高形式。
《九章算术》正如其字面上的意思一样由九章构成。尽管不是最早的数学著作，但它被认为是中国传统数学中最重要的数学典籍。此书内章节分别为：“方田”“粟米”“衰分”“少广”“商功”“均输”“盈不足”“方程”“勾股”，所有的章节都来源于日常实践，但在某些部分达到了理论上的高度复杂。
例如，第四章关于少广的内容。首先，少广法则即除法，一个整数之和为被除数，单位分数为除数；其次，提取平方根法则；第三，提取立方根法则。《九章算术》就写到这里了，但是后继的数学家特别是11世纪的贾宪和13世纪的秦九韶，尝试将《九章算术》中的二阶、三阶延伸到高阶方程。这可以看做天元术高阶方程数值解方法的起源。
第八章是关于方程，这一问题上应当提到两位数学家。一位是日本江户时代的数学家关孝和（Seki Takakazu），另一位是中国清朝的数学家梅文鼎。关孝和写了一本名为《解伏题之法》（Kaifukudai-no-ho）的专题著作，即在多个未知量的方程式中引入结式（resultant）的概念来解决问题。现在结果证明当时他在发展五阶行列式时犯了一个错误。但是，最近历史学家发现关孝和与他的追随者在随后的著作中成功地得到了正确的法则。梅文鼎曾起草《矩阵理论》一书，其中的确用消去法来解决线性方程问题。至今还不确定关孝和与梅文鼎是否注意到《九章算术》中刘徽关于这一方法的注释。但是可以肯定的是传统的数学在东亚确实存在，也的确曾使用矩阵或行列式等概念。
《九章算术》也涉及几何问题。第九章对于直角三角形的讨论涉及勾股定理，与之对应的是西方所谓的“毕达哥拉斯定理”。当代数学家吴文俊“出入相补原理（Out-In Complementary Principle）”解释如下：这一法则来自如下两个步骤1）当图形从一个平面上严格地移动到另一个平面上时，平面图形的面积保持不变；2）如果一个平面图形被分割成几部分，这几部分区域的面积之和等于原先图形的面积。因此，第九章中的勾股法则可以被看做上述的出入过程的一个应用。
《九章算术》具有实用和算法模式的特点。其中“算法”一词来源于公元9世纪初期古典伊斯兰教花拉子米（Al-Khwarizmi）的名字。花拉子米曾著《代数学》一书，并因此被认为是代数学这个新学科的创始人。拉谢德的专题著作《花拉子米：代数学的开端》：“花拉子米的书在更深层次上是基础性的，这与代数学内部固有的新的可能性有关。代数学实际上使得那时不可能想象的事变得可能：为了继续扩展数学学科的应用，产生新学科——代数学中的算法的应用，几何学中的代数学，代数学中的几何学，三角学中的代数学等等。”
中国的算法数学与阿拉伯的算法数学不同。中国的算法数学是利用算筹，这是一种工具化的算法，不同于现在用纸和笔的书写形式的算法。算筹是用竹子或是木棍制成的，并用红色的代表正数，蓝色的代表负数。中国的珠算精确起源并不知道，然而可以确定的是在宋朝时期随着商业革命人们开始使用算盘，而且从那时起它成为东亚人在当今的电子计算机出现之前的主要计算工具。
然而，阿拉伯的代数学是用一些书写工具在板或纸上做一些数学计算形成的。8世纪，穆斯林开始跟中国唐朝的造纸工学习如何造纸。花拉子米的代数学著作完全是用阿拉伯语写的，因此没有表示未知数的符号。因此，他的代数是一种“修辞代数学”。16世纪末，耶稣会传教士从欧洲来访问中国如利玛窦，中国人了解到了阿拉伯的代数学的数学书写形式；尽管不能完全否认的是，在此之前的宋朝和元朝时期他们通过阿拉伯语的商人和知识分子已经了解了阿拉伯的代数书写方式。
中国数学家和数学史学家吴文俊在他的论文集《吴文俊论数学机械化》中一直强调，欧几里得的公理化数学与算法的或是代数的数学是互相补充的，“笛卡尔的态度似乎与中国古人的看法相似。无论如何解析几何方法的创造打开了机械化的大门，不仅打开了解方程的大门，更是打开了证明定理的大门，无论这些机械化开始出现的有多迟。”但是笛卡尔的数学思想是来源于伊斯兰世界而不是中国。
中国古代数学的历史背景
中国古代数学的实用和算法的模式似乎是由其知识背景和社会背景决定的。为了从军事上保护自己，建立一个抵御邻国游牧入侵的整体防卫体系就显得尤为重要，也是中国为何从其早期开始就成为一个中央集权国家的主要原因。此外，农业的稳定需要大量人力的共同努力来提供必要的排水和灌溉。这些社会条件导致中国成了一个专制的社会。
但是，在公元前221年首次由秦朝统一中国之前，东周有过一段蓬勃发展并充满活力和创造力的时期，“诸子百家”在中国早期哲学的产生过程中进行了非常活跃的讨论。费正清等学者指出，“人们常常被东西文化在这一时期的平行发展而触动。这一时期，中国出现了知识大爆发，希腊哲学处于全盛期，以及希伯来先知，历史上的佛陀和印度早期的宗教领袖的出现。整个文明世界在这一时期是惊人的哲学活跃期。”墨子学派提倡“兼爱”、和平主义及实用主义，对逻辑问题感兴趣。
人们或许会倾向于认为公元前8世纪之前希腊与中国的知识和社会条件没有什么本质的区别，尽管这一观点可能会有相当大程度的夸张。但是，随着第一个统一的中国王朝秦朝的出现，秦始皇在公元前213年下令将所有的书都烧掉，除了诸如医学、农业、占卜以及秦政府律令等有用的书，并且在接下来的一年对文人行刑。这种集权镇压知识分子的行为标志着古中国思想的凋零。当时只允许狭隘的道德哲学和孤立的思辨。
概括而言，随着专制思想模式的势不可挡，中央集权体制下的官僚主义变得更加强大，结果很可能会使严格证明的批判精神受到了禁锢。另一方面，为了维护社会和政治方面的稳定，中央集权的国家鼓励日常生活中的有用的技术的发展。
这些历史条件为数学的发展提供了模具，根据这一模具中国古代数学创建了其实用和算法的模式。然而它的证明方式并不像希腊数学的证明那么严格。人们理所当然地认为这是中国古代数学的缺点。与此相反，希腊数学或许是由于太过于强调证明的严谨性，因而公理化方式很容易忽略掉数学实践的有用性。
约公元前1世纪的汉朝时期，中国的经典数学著作《九章算术》主要是为了官僚的实际使用而创作的。这本书形成了中国传统数学的模具或风格。然而，我反复强调我们不能认为中国传统数学的模式次于古希腊的公理化的数学。至少，它试图呈现一个直观的证明形式，而且拥有一种发现和适当检验数学过程的方法。中国数学无疑比较关注方法的合理性和结果的正确性。他们的证据不是欧几里得的公理化的证据，但是它们仍然是证据；而且明显地能够建立其所提供的解决方案的真实性或正确性。为了确定这样一个认识论的观察，我们数学史家必须继续建立中国传统数学的精确的历史图像。中国的数学有着很高的务实性，它很可能提供一个与古希腊的公理化数学相对应的独创的数学思想。
安托格纳兹阿告诉我们一个非常重要的事，“在莱布尼兹为柏林社会科学所作的引人注目的座右铭中，他的理想是将'理论和实践’（Theoria cum Praxi）嫁接。”“理论”与“实践”嫁接正是上述一直在讨论的在古希腊与古中国数学发现和论证的两种原型。
作者：佐佐木力（1947-2020）