巧用三角形“三线”（角平分线、中线和高线）巧妙解题

“三线”是对三角形的角平分线、中线和高这三条重要线段的统称，灵活运用“三线”，可以解决与三角形有关的一些计算问题.现举例说明.

一、巧用三角形的角平分线解题

例1

如图1，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A=80°，∠ACB =60°，则∠BDC的度数为         .

分析

先由三角形角平分线的概念可求出∠DCA的度数，再利用三角形外角即可求出∠BDC的度数.

解

二、巧用三角形的中线解题

例2

如图2，已知△ABC的周长为18㎝，BE，CF分别为AC、AB的中线，BE，CF相交于点O，AO的延长线交BC于D，且AF=3㎝，AE=2㎝，求BD的长.

分析

由中线的特性可求出AB和AC的长，进而利用周长求出BC的长.由三角形的中线交于一点可知，AD为BC边上的中线，由此即可求出BD的长.

解

三、巧用三角形的高解题

例3

如图3所示，在△ABC中，BD是AC边上的高，CE是AB边上的高，且相交于点O，则∠ABD与∠ACE的大小关系是（   ）.

（A）大于 （B）等于 （C）小于  （D）不能确定

分析

因为BD、CE分别是AC、AB边上的高，所以∠BDA=∠CEA=90°，所以∠A+∠ABD=∠A+∠ACE=90°，由同角的余角相等，得∠ABD=∠ACE.

解

选 B

四、综合运用“三线”解题

例4

如图4，在△ABC中，AD，AE分别是高和角平分线，若∠B=40°，∠C=60°，求∠EAD的度数.

分析

注意到∠EAD=∠EAC-∠CAD，为此只要分别求出∠EAC和∠CAD的度数即可.由三角形内角和可求出∠BAC的度数，进而利用角平分线求得∠EAC的度数，再利用三角形内角和可求出∠CAD的度数.

解

在△ABC中，∠BAC =180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°.

因为AE是∠BAC的平分线，所以∠EAC=∠BAE =40°.因为AD是边BC上的高，

所以∠ADC=90°.

所以∠CAD=90°-∠C=30°.

所以∠EAD=∠EAC-∠CAD=40°-30°=10°.