等比数列的判定方法

一、定义法

根据等比数列的定义，判断

或

是一个与

无关的常数．

例1　如果

是等差数列，则数列

（

为常数，且

）一定是等比数列；如果

是等比数列，且

，则数列

（

为常数，

，且

）一定是等差数列，你能证明吗？

证明：若

为等差数列，则有

，并且

（

为常数），

（常数），

故数列

为等比数列．

同理，

为等比数列，且

时，

，

（常数），

，

数列

是公差为

的等差数列．

二、等比中项法

对于各项均不为零的数列

，若对于任意大于1的正整数

都有

，则可判定数列

为等比数列．

例2　已知

，其中

依次成等差数列，且公差不为零，判断

是否成等比数列？

解：设等差数列

的公差为

，则

，

，

，

代入

，

可得

．

，

．

又

，故

成等比数列．

三、通项公式法

为等比数列

．

例3　已知

是各项均为正数的等差数列，

，

，

成等差数列，又

，

．判断

是否为等比数列？

解：

成等差数列，

，即

．

又设等差数列

的公差为

，

则

，即

．

当

时，

是一个各项均为正数的常数列，

是等比数列；当

时，

，

，

．

故

是首项为

，公比为

的等比数列．

四、递推公式法

例4　根据如图所示的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式．问：这个数列是等比数列吗？

分析：先求出前5项值，然后通过递推性质确定其通项公式．

解：若将打印出来的数依次记为

（即

），

，

，

．

由图可知，

，

，

，

．

于是可得递推公式

由于

，因此这个数列是等比数列，

其通项公式是

．

五、前

项和公式法

在数列

中，前

项和为

，若

，则

为等比数列．

例5　已知数列

的前

项和为

（

是不为0的实数），则

（　　）

Ａ．一定是等比数列

Ｂ．一定是等差数列

Ｃ．是等差数列或是等比数列

Ｄ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

解：当

时，

的各项都为0，这个数列是等差数列，但不是等比数列；当

时，由

知，

是等比数列，但不是等差数列，故先Ｃ．

六、反例法

若判断一个数列不是等比数列，则反例法显得更简单．

例6　设

，

是公比不相等的两个等比数列，

，证明数列

不是等比数列．

解：设

，

的公比分别为

．

为证

不是等比数列只需证

．

事实上，

，

．

由于

，

，又

不为零，因此

，故

不是等比数列．

注意：有些试题常常需要由一个特别说明一个命题是错误的，但应当注意一个特例不能说明命题是正确的．